Câu 2. Có hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp 4 không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy ? Câu...

Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp nhân từng bước và xem xét các trường hợp khác nhau. Bước 1: Xác định các nhóm học sinh - Nhóm A: 2 học sinh - Nhóm B: 3 học sinh - Nhóm C: 4 học sinh Bước 2: Xác định các trường hợp xếp hàng Ta cần đảm bảo rằng giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Do đó, ta sẽ xem xét các trường hợp sau: 1. Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau. 2. Hai học sinh lớp A không đứng cạnh nhau nhưng không có học sinh lớp B đứng giữa chúng. Trường hợp 1: Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau - Coi hai học sinh lớp A như một nhóm duy nhất, ta có 9 vị trí để xếp (gồm 1 nhóm A, 3 học sinh B, 4 học sinh C). - Số cách xếp 9 vị trí này là \(9!\). Trường hợp 2: Hai học sinh lớp A không đứng cạnh nhau nhưng không có học sinh lớp B đứng giữa chúng - Ta sẽ xem xét các vị trí có thể đặt hai học sinh lớp A sao cho không có học sinh lớp B đứng giữa chúng. - Các vị trí có thể đặt hai học sinh lớp A là: (A, _, _, _, _, _, _, _, _), (_, A, _, _, _, _, _, _, _), ..., (_, _, _, _, _, _, _, _, A). - Ta sẽ tính số cách xếp các học sinh còn lại trong các vị trí còn lại. Bước 3: Tính tổng số cách xếp - Tổng số cách xếp là tổng của các trường hợp đã xem xét. Lời giải chi tiết: 1. Hai học sinh lớp A đứng cạnh nhau: - Coi hai học sinh lớp A như một nhóm duy nhất, ta có 9 vị trí để xếp (gồm 1 nhóm A, 3 học sinh B, 4 học sinh C). - Số cách xếp 9 vị trí này là \(9!\). - Số cách xếp hai học sinh lớp A trong nhóm là \(2!\). - Vậy số cách xếp trong trường hợp này là \(9! \times 2!\). 2. Hai học sinh lớp A không đứng cạnh nhau nhưng không có học sinh lớp B đứng giữa chúng: - Ta sẽ xem xét các vị trí có thể đặt hai học sinh lớp A sao cho không có học sinh lớp B đứng giữa chúng. - Các vị trí có thể đặt hai học sinh lớp A là: (A, _, _, _, _, _, _, _, _), (_, A, _, _, _, _, _, _, _), ..., (_, _, _, _, _, _, _, _, A). - Ta sẽ tính số cách xếp các học sinh còn lại trong các vị trí còn lại. Tổng số cách xếp: - Tổng số cách xếp là tổng của các trường hợp đã xem xét. Đáp số: Số cách xếp hàng là \(9! \times 2!\). Câu 3: Câu 1: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng AB và AC Phương trình đường thẳng AB: \(5x - 2y + 6 = 0\) Phương trình đường thẳng AC: \(4x + 7y - 21 = 0\) Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 5x - 2y + 6 = 0 \\ 4x + 7y - 21 = 0 \end{cases} \] Nhân phương trình thứ nhất với 7 và nhân phương trình thứ hai với 2: \[ \begin{cases} 35x - 14y + 42 = 0 \\ 8x + 14y - 42 = 0 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ 43x = 0 \implies x = 0 \] Thay \(x = 0\) vào phương trình \(5x - 2y + 6 = 0\): \[ -2y + 6 = 0 \implies y = 3 \] Vậy tọa độ giao điểm A là \(A(0, 3)\). Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng BC Trực tâm H của tam giác ABC là \(H(1, 1)\). Ta cần tìm phương trình đường thẳng BC đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng AH. Phương trình đường thẳng AH: \[ y - 3 = \frac{1 - 3}{1 - 0}(x - 0) \implies y - 3 = -2x \implies y = -2x + 3 \] Đường thẳng BC vuông góc với đường thẳng AH, nên hệ số góc của BC là \(\frac{1}{2}\) (vì tích của hai hệ số góc vuông góc bằng -1). Phương trình đường thẳng BC đi qua H(1, 1) với hệ số góc \(\frac{1}{2}\): \[ y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] Vậy phương trình cạnh BC là: \[ y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \] Câu 2: Chuyến bay từ Cà Mau đến Hà Nội Bước 1: Tính thời gian bay Vĩ độ của sân bay Cà Mau: \(9.18^\circ\) Bắc Vĩ độ của sân bay Nội Bài: \(21.2^\circ\) Bắc Sự chênh lệch về vĩ độ: \[ 21.2 - 9.18 = 12.02^\circ \] Thời gian bay \(t\) giờ: \[ 12.02 = 9.18 + \frac{3606}{625}t \implies 12.02 - 9.18 = \frac{3606}{625}t \implies 2.84 = \frac{3606}{625}t \implies t = \frac{2.84 \times 625}{3606} \approx 0.48 \text{ giờ} \] Bước 2: Kiểm tra vĩ độ tại thời điểm 1 giờ 30 phút Thời điểm 1 giờ 30 phút = 1.5 giờ Vĩ độ tại thời điểm này: \[ x = 9.18 + \frac{3606}{625} \times 1.5 = 9.18 + 8.7744 = 17.9544^\circ \] Vậy tại thời điểm 1 giờ 30 phút, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17° Bắc. Đáp số: 1. Phương trình cạnh BC: \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\) 2. Thời gian bay: khoảng 0.48 giờ 3. Máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17° Bắc tại thời điểm 1 giờ 30 phút.