kkkkkkkkkk Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$ là,$ extcircled{A.}~\int f(x)dx=\frac23x+\frac59\ln|3x-1|+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac23x+\frac53\ln|3x-1|+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac23x-\frac59\ln|3x-1|+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac23x+5\ln|3x-1|+C.$

Question

kkkkkkkkkk Câu 8. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{2x+1}{3x-1}$ là,$	extcircled{A.}~\int f(x)dx=\frac23x+\frac59\ln|3x-1|+C.$ $B.~\int f(x)dx=\frac23x+\frac53\ln|3x-1|+C.$,$C.~\int f(x)dx=\frac23x-\frac59\ln|3x-1|+C.$ $D.~\int f(x)dx=\frac23x+5\ln|3x-1|+C.$

Accepted Answer

Câu 8.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 1} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta phân tích phân thức thành tổng của một đa thức và một phân thức đại lượng bậc thấp hơn mẫu số:
$$ \frac{2x + 1}{3x - 1} = \frac{2}{3} + \frac{\frac{5}{3}}{3x - 1} $$

Bước 2: Tính nguyên hàm từng phần:
$$ \int \left( \frac{2}{3} + \frac{\frac{5}{3}}{3x - 1} \right) dx = \int \frac{2}{3} dx + \int \frac{\frac{5}{3}}{3x - 1} dx $$

Bước 3: Tính nguyên hàm của mỗi phần riêng lẻ:
$$ \int \frac{2}{3} dx = \frac{2}{3} \int dx = \frac{2}{3} x + C_1 $$
$$ \int \frac{\frac{5}{3}}{3x - 1} dx = \frac{5}{3} \int \frac{1}{3x - 1} dx $$

Bước 4: Áp dụng công thức nguyên hàm của dạng $\int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C$:
$$ \int \frac{1}{3x - 1} dx = \frac{1}{3} \ln |3x - 1| + C_2 $$

Bước 5: Kết hợp lại:
$$ \int \frac{\frac{5}{3}}{3x - 1} dx = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{3} \ln |3x - 1| + C_3 = \frac{5}{9} \ln |3x - 1| + C_3 $$

Bước 6: Gộp tất cả các kết quả lại:
$$ \int f(x) dx = \frac{2}{3} x + \frac{5}{9} \ln |3x - 1| + C $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ \int f(x) dx = \frac{2}{3} x + \frac{5}{9} \ln |3x - 1| + C $.