Giúp vs ạ. 2) .Cho tam giác ABC nhọn với $ABAC.$ Các đường cao BM, CN cắt nhau tại H..,a/ Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp,b/ Gọi D là giao điểm của AH và BC . Chứng minh DA phân giác của MDN,c/ Đường thẳng qua D và song song với MN cắt AB, CN lần lượt tại I, J . Chứng,minh D là,trung điểm IJ .

Question

Giúp vs ạ. 2) .Cho tam giác ABC nhọn với $AB>AC.$ Các đường cao BM, CN cắt nhau tại H..,a/ Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp,b/ Gọi D là giao điểm của AH và BC . Chứng minh DA phân giác của MDN,c/ Đường thẳng qua D và song song với MN cắt AB, CN lần lượt tại I, J . Chứng,minh D là,trung điểm IJ .

Accepted Answer

a, Vì BM, CN là các đường cao của $\displaystyle \vartriangle ABC$
Nên $\displaystyle \widehat{AMH} =\widehat{ANH} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow M,N$ thuộc đường tròn đường kính AH
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác AMHN nội tiếp
b, Ta có: $\displaystyle \widehat{HDB} =\widehat{HNB} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow D,N$ thuộc đường tròn đường kính HB
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác BDHN nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NDH} =\widehat{NBH}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NDA} =\widehat{NBM} \ ( 1)$
Ta có: $\displaystyle \widehat{HMC} =\widehat{HDC} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow M,D$ thuộc đường tròn đường kính HC
$\displaystyle \Longrightarrow $Tứ giác HDCM nội tiếp đường tròn
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{HDM} =\widehat{HCM}$
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ADM} =\widehat{NCM}$ (2)
Ta có: $\displaystyle \widehat{BNC} =\widehat{BMC} =90^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow N,M$ thuộc đường tròn đường kính BC
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{NBM} =\widehat{NCM} \ ( 3)$
Từ (1),(2),(3) ta có: $\displaystyle \widehat{NDA} =\widehat{MDA}$
$\displaystyle \Longrightarrow DA$ là phân giác của $\displaystyle \widehat{MDN}$