giải bài tập N I.Câuu tắắc nhhiệmnhhềều phơơng án lựa hhọn(3300 đểể),1. Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{x^2}+e^x$ là,$A.~-\frac2{x^3}+e^x+C$ $B.~\frac2{x^2}-e^x+C$,$C.~-\frac1x+e^x+C$ $D.~\frac1x+e^x+C$,Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3-\frac1{\sin^2x}$ là,$A.~3x+ an x+C$ $B.~3x-\cot x+C$,$C.~3x+\cot x+C$ $D.~3x- an x+C$,Câu 3. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=x^4-3x^3-4x^2-3x-4$ biết $F(-6)=-\frac{11336}5.$,$A.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-4x-2.$ $B.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-4x+2.$,$C.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3+\frac{3x^2}2-4x+2.$ $D.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-x-10.$,Câu 4. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $\int^7_1f(x)dx=-12,F(1)=-2.$ Tính $F(7).$,$A.~-14.$ B. -10. C. 10. D. 24.,Câu 5. Cho $\int^3_1f(x)dx=2,\int^1_3g(x)dx=1.$ Tính $I=\int^3_1[4f(x)+2020g(x)]dx$,A. 2024 B. 2028 C. - 2023 D. - 2012,Câu 6. Tính $\int^{2023}_02^xdx.$,$A.~\frac{2^{2023}}{\ln2}-\ln2$ $B.~2^{2023}-1$ $C.~\frac{2^{2023}-1}{\ln2}$ $D.~\frac{2^{2023}}{\ln2}-1$,Câu 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3+1,y=0,x=0,x=1$ quay quanh trục Ox.,của khối tròn xoay tạo thành bằng,$A.~\frac{23\pi}{14}$ $B.~\frac{13\pi}7$ $C.~\frac\pi9$ $D.~\frac\pi3$,Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $(C):~y=x^3;(C^\prime):~y=x^5$ bằng,$A.~\frac34$ $B.~\frac23$ C. 6 $D.~\frac16$,Câu 9. Một vật chuyển động với vận tốc 10m / s thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=3t+t^2.$ Tính quãng đường,vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.,$A.~\frac{430}3m$ $B.~\frac{4300}3m$ C. 430m D. 4300m,Câu 10. Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=5,$ biết rằng khi cắt vật thể bởi,mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $x~(0\leq x\leq5)$ thì được thiết diện là một tam,giác đều có cạnh 5x được tính bằng công thức:,$A.~V=\int^5_025x^2.dx.$ $B.~V=\pi\int^5_0\frac{25x^2}4dx.$ $C.~V=\int^5_0\frac{25\sqrt3x^2}4.dx.$ $D.~V=\pi\int^5_0\frac{25\sqrt3x^2}4dx$

Question

giải bài tập N I.Câuu tắắc nhhiệmnhhềều phơơng án lựa hhọn(3300 đểể),1. Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac1{x^2}+e^x$ là,$A.~-\frac2{x^3}+e^x+C$ $B.~\frac2{x^2}-e^x+C$,$C.~-\frac1x+e^x+C$ $D.~\frac1x+e^x+C$,Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=3-\frac1{\sin^2x}$ là,$A.~3x+	an x+C$ $B.~3x-\cot x+C$,$C.~3x+\cot x+C$ $D.~3x-	an x+C$,Câu 3. Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=x^4-3x^3-4x^2-3x-4$ biết $F(-6)=-\frac{11336}5.$,$A.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-4x-2.$ $B.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-4x+2.$,$C.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3+\frac{3x^2}2-4x+2.$ $D.~F(x)=\frac{x^5}5-\frac{3x^4}4-\frac{4x^3}3-\frac{3x^2}2-x-10.$,Câu 4. Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $\int^7_1f(x)dx=-12,F(1)=-2.$ Tính $F(7).$,$A.~-14.$ B. -10. C. 10. D. 24.,Câu 5. Cho $\int^3_1f(x)dx=2,\int^1_3g(x)dx=1.$ Tính $I=\int^3_1[4f(x)+2020g(x)]dx$,A. 2024 B. 2028 C. - 2023 D. - 2012,Câu 6. Tính $\int^{2023}_02^xdx.$,$A.~\frac{2^{2023}}{\ln2}-\ln2$ $B.~2^{2023}-1$ $C.~\frac{2^{2023}-1}{\ln2}$ $D.~\frac{2^{2023}}{\ln2}-1$,Câu 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^3+1,y=0,x=0,x=1$ quay quanh trục Ox.,của khối tròn xoay tạo thành bằng,$A.~\frac{23\pi}{14}$ $B.~\frac{13\pi}7$ $C.~\frac\pi9$ $D.~\frac\pi3$,Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $(C):~y=x^3;(C^\prime):~y=x^5$ bằng,$A.~\frac34$ $B.~\frac23$ C. 6 $D.~\frac16$,Câu 9. Một vật chuyển động với vận tốc 10m / s thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=3t+t^2.$ Tính quãng đường,vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.,$A.~\frac{430}3m$ $B.~\frac{4300}3m$ C. 430m D. 4300m,Câu 10. Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=5,$ biết rằng khi cắt vật thể bởi,mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $x~(0\leq x\leq5)$ thì được thiết diện là một tam,giác đều có cạnh 5x được tính bằng công thức:,$A.~V=\int^5_025x^2.dx.$ $B.~V=\pi\int^5_0\frac{25x^2}4dx.$ $C.~V=\int^5_0\frac{25\sqrt3x^2}4.dx.$ $D.~V=\pi\int^5_0\frac{25\sqrt3x^2}4dx$

Accepted Answer

Để giải bài tập này, chúng ta cần tìm các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{x^2} + e^x $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ trong hàm số.

- Nguyên hàm của $ \frac{1}{x^2} $:
$$ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -x^{-1} + C_1 = -\frac{1}{x} + C_1 $$

- Nguyên hàm của $ e^x $:
$$ \int e^x \, dx = e^x + C_2 $$

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau:
$$ \int \left( \frac{1}{x^2} + e^x \right) \, dx = -\frac{1}{x} + e^x + C $$
Trong đó, $ C $ là hằng số tổng hợp từ $ C_1 $ và $ C_2 $.

Vậy, họ các nguyên hàm của hàm số $ f(x) = \frac{1}{x^2} + e^x $ là:
$$ -\frac{1}{x} + e^x + C $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $ -\frac{1}{x} + e^x + C $

Đáp án: C. $ -\frac{1}{x} + e^x + C $

Câu 2.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3 - \frac{1}{\sin^2 x} $, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức.

- Nguyên hàm của $ 3 $ là $ 3x + C_1 $.

- Nguyên hàm của $ \frac{1}{\sin^2 x} $:
  Ta biết rằng $ \frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x $. Nguyên hàm của $ \csc^2 x $ là $ -\cot x + C_2 $.

Bước 2: Kết hợp các nguyên hàm lại với nhau.

$$
\int \left( 3 - \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \int 3 \, dx - \int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = 3x + C_1 - (-\cot x + C_2)
$$

Bước 3: Gộp các hằng số $ C_1 $ và $ C_2 $ thành một hằng số tổng quát $ C $.

$$
= 3x + \cot x + (C_1 - C_2) = 3x + \cot x + C
$$

Vậy, họ nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 3 - \frac{1}{\sin^2 x} $ là:

$$
3x + \cot x + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:

C. $ 3x + \cot x + C $

Câu 3.
Để tìm một nguyên hàm $ F(x) $ của hàm số $ f(x) = x^4 - 3x^3 - 4x^2 - 3x - 4 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong $ f(x) $.

$$
\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5}
$$

$$
\int -3x^3 \, dx = -3 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3x^4}{4}
$$

$$
\int -4x^2 \, dx = -4 \cdot \frac{x^3}{3} = -\frac{4x^3}{3}
$$

$$
\int -3x \, dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3x^2}{2}
$$

$$
\int -4 \, dx = -4x
$$

Bước 2: Gộp tất cả các nguyên hàm lại để tìm $ F(x) $:

$$
F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x + C
$$

Bước 3: Xác định hằng số $ C $ bằng cách sử dụng điều kiện $ F(-6) = -\frac{11336}{5} $.

Thay $ x = -6 $ vào $ F(x) $:

$$
F(-6) = \frac{(-6)^5}{5} - \frac{3(-6)^4}{4} - \frac{4(-6)^3}{3} - \frac{3(-6)^2}{2} - 4(-6) + C
$$

$$
= \frac{-7776}{5} - \frac{3 \cdot 1296}{4} - \frac{4 \cdot (-216)}{3} - \frac{3 \cdot 36}{2} + 24 + C
$$

$$
= \frac{-7776}{5} - \frac{3888}{4} + \frac{864}{3} - \frac{108}{2} + 24 + C
$$

$$
= \frac{-7776}{5} - 972 + 288 - 54 + 24 + C
$$

$$
= \frac{-7776}{5} - 714 + C
$$

$$
= \frac{-7776}{5} - \frac{3570}{5} + C
$$

$$
= \frac{-11346}{5} + C
$$

Theo đề bài, $ F(-6) = -\frac{11336}{5} $. Do đó:

$$
\frac{-11346}{5} + C = -\frac{11336}{5}
$$

$$
C = -\frac{11336}{5} + \frac{11346}{5} = \frac{10}{5} = 2
$$

Vậy, nguyên hàm $ F(x) $ là:

$$
F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x + 2
$$

Đáp án đúng là: B. $ F(x) = \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} - 4x + 2 $.

Câu 4.
Để tính giá trị của $ F(7) $, ta sử dụng công thức tính nguyên hàm trên đoạn:

$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

Trong bài này, ta có:

$$
\int_1^7 f(x) \, dx = F(7) - F(1)
$$

Theo đề bài, ta biết rằng:

$$
\int_1^7 f(x) \, dx = -12
$$

và

$$
F(1) = -2
$$

Thay các giá trị đã biết vào công thức trên, ta có:

$$
-12 = F(7) - (-2)
$$

Đơn giản hóa phương trình:

$$
-12 = F(7) + 2
$$

Giải phương trình này để tìm $ F(7) $:

$$
F(7) = -12 - 2
$$

$$
F(7) = -14
$$

Vậy giá trị của $ F(7) $ là $-14$.

Đáp án đúng là: A. $-14$.

Câu 5.
Để tính tích phân $ I = \int_{1}^{3} [4f(x) + 2020g(x)] \, dx $, ta sẽ sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân.

Bước 1: Áp dụng tính chất tuyến tính của tích phân:
$$ 
\int_{1}^{3} [4f(x) + 2020g(x)] \, dx = 4 \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 2020 \int_{1}^{3} g(x) \, dx 
$$

Bước 2: Thay các giá trị đã biết vào:
$$ 
\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 2 
$$
$$ 
\int_{1}^{3} g(x) \, dx = -1 \quad (\text{vì} \int_{3}^{1} g(x) \, dx = 1 \Rightarrow \int_{1}^{3} g(x) \, dx = -1) 
$$

Bước 3: Thay các giá trị này vào biểu thức:
$$ 
I = 4 \cdot 2 + 2020 \cdot (-1) 
$$
$$ 
I = 8 - 2020 
$$
$$ 
I = -2012 
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. -2012

Câu 6.
Để tính tích phân $\int^{2023}_02^xdx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $2^x$. Ta biết rằng:
$$ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C $$

Bước 2: Áp dụng công thức trên để tính tích phân từ 0 đến 2023:
$$ \int^{2023}_0 2^x \, dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]^{2023}_0 $$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm:
$$ \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]^{2023}_0 = \frac{2^{2023}}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} $$

Bước 4: Tính giá trị cụ thể:
$$ \frac{2^{2023}}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{2^{2023} - 1}{\ln 2} $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $\frac{2^{2023} - 1}{\ln 2}$

Đáp số: C. $\frac{2^{2023} - 1}{\ln 2}$

Câu 7.
Để tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = x^3 + 1 $, $ y = 0 $, $ x = 0 $, $ x = 1 $ quay quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx $$

Trong đó, $ f(x) = x^3 + 1 $, $ a = 0 $, và $ b = 1 $.

Bước 1: Tính $ [f(x)]^2 $:

$$ [f(x)]^2 = (x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1 $$

Bước 2: Tính tích phân:

$$ V = \pi \int_{0}^{1} (x^6 + 2x^3 + 1) \, dx $$

Bước 3: Tính từng phần của tích phân:

$$ \int_{0}^{1} x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{7} $$

$$ \int_{0}^{1} 2x^3 \, dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$

$$ \int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 $$

Bước 4: Cộng các kết quả lại:

$$ V = \pi \left( \frac{1}{7} + \frac{1}{2} + 1 \right) = \pi \left( \frac{1}{7} + \frac{7}{14} + \frac{14}{14} \right) = \pi \left( \frac{2 + 7 + 14}{14} \right) = \pi \left( \frac{23}{14} \right) = \frac{23\pi}{14} $$

Vậy thể tích của khối tròn xoay tạo thành là:

$$ \boxed{\frac{23\pi}{14}} $$

Đáp án đúng là: A. $\frac{23\pi}{14}$

Câu 8.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $(C):~y=x^3$ và $(C^\prime):~y=x^5$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của hai đồ thị:
   Ta giải phương trình:
   $$
   x^3 = x^5
   $$
   Điều này tương đương với:
   $$
   x^3 - x^5 = 0 \implies x^3(1 - x^2) = 0
   $$
   Do đó, ta có các nghiệm:
   $$
   x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1
   $$

2. Xác định khoảng tích phân:
   Các giao điểm của hai đồ thị là $x = -1$, $x = 0$, và $x = 1$. Ta sẽ tính diện tích giữa các khoảng $[-1, 0]$ và $[0, 1]$.

3. Tính diện tích hình phẳng:
   Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ $x = -1$ đến $x = 1$ là:
   $$
   S = 2 \int_{0}^{1} (x^3 - x^5) \, dx
   $$
   Vì hàm số $x^3 - x^5$ là hàm chẵn, nên ta chỉ cần tính diện tích từ $0$ đến $1$ rồi nhân đôi.

4. Tính tích phân:
   $$
   \int_{0}^{1} (x^3 - x^5) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{6} \right]_{0}^{1}
   $$
   Đánh giá tại các cận:
   $$
   \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^6}{6} \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{0^6}{6} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}
   $$

5. Nhân đôi để tính toàn bộ diện tích:
   $$
   S = 2 \times \frac{1}{12} = \frac{1}{6}
   $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $(C):~y=x^3$ và $(C^\prime):~y=x^5$ là $\frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: D. $\frac{1}{6}$

Câu 9.
Để tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc của vật theo thời gian:
   - Gia tốc của vật là $ a(t) = 3t + t^2 $.
   - Vận tốc $ v(t) $ là tích phân của gia tốc $ a(t) $:
     $$
     v(t) = \int a(t) \, dt = \int (3t + t^2) \, dt = \frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + C
     $$
   - Ta biết rằng ban đầu (t = 0), vận tốc của vật là 10 m/s:
     $$
     v(0) = 10 \implies \frac{3 \cdot 0^2}{2} + \frac{0^3}{3} + C = 10 \implies C = 10
     $$
   - Vậy vận tốc của vật theo thời gian là:
     $$
     v(t) = \frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + 10
     $$

2. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây:
   - Quãng đường $ s(t) $ là tích phân của vận tốc $ v(t) $:
     $$
     s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left( \frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3} + 10 \right) \, dt = \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{12} + 10t + D
     $$
   - Ta biết rằng ban đầu (t = 0), quãng đường đã đi được là 0:
     $$
     s(0) = 0 \implies \frac{0^3}{2} + \frac{0^4}{12} + 10 \cdot 0 + D = 0 \implies D = 0
     $$
   - Vậy quãng đường của vật theo thời gian là:
     $$
     s(t) = \frac{t^3}{2} + \frac{t^4}{12} + 10t
     $$

3. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây:
   - Thay $ t = 10 $ vào công thức quãng đường:
     $$
     s(10) = \frac{10^3}{2} + \frac{10^4}{12} + 10 \cdot 10 = \frac{1000}{2} + \frac{10000}{12} + 100 = 500 + \frac{2500}{3} + 100
     $$
   - Chuyển về cùng mẫu số:
     $$
     s(10) = 500 + \frac{2500}{3} + 100 = \frac{1500}{3} + \frac{2500}{3} + \frac{300}{3} = \frac{4300}{3}
     $$

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây là $\frac{4300}{3}$ m.

Đáp án đúng là: B. $\frac{4300}{3}$ m.

Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tính thể tích của một vật thể thông qua việc tích phân diện tích thiết diện.

Bước 1: Xác định diện tích thiết diện.
- Thiết diện là một tam giác đều có cạnh là 5x.
- Diện tích S của một tam giác đều có cạnh a là $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.
- Do đó, diện tích thiết diện S(x) là:
$$ S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}(5x)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25x^2 = \frac{25\sqrt{3}x^2}{4} $$

Bước 2: Tính thể tích V của vật thể.
- Thể tích V được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện từ x = 0 đến x = 5:
$$ V = \int_{0}^{5} S(x) \, dx = \int_{0}^{5} \frac{25\sqrt{3}x^2}{4} \, dx $$

Do đó, đáp án đúng là:
C. $V = \int_{0}^{5} \frac{25\sqrt{3}x^2}{4} \, dx$

Đáp án: C. $V = \int_{0}^{5} \frac{25\sqrt{3}x^2}{4} \, dx$