nguyên hàm giùm vs $c)~\int(\frac{\sqrt x}2-\frac2x)dx$

Question

Accepted Answer

Để tính nguyên hàm của biểu thức $\int \left( \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x} \right) dx$, chúng ta sẽ tính từng phần riêng lẻ rồi cộng lại.

Bước 1: Tính nguyên hàm của $\frac{\sqrt{x}}{2}$

Ta có:
$$ \int \frac{\sqrt{x}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \sqrt{x} \, dx $$

Biểu thức $\sqrt{x}$ có thể viết lại thành $x^{1/2}$. Do đó:
$$ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx $$

Áp dụng công thức nguyên hàm $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$):
$$ \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C $$

Vậy:
$$ \frac{1}{2} \int \sqrt{x} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = \frac{1}{3} x^{3/2} + C $$

Bước 2: Tính nguyên hàm của $-\frac{2}{x}$

Ta có:
$$ \int -\frac{2}{x} \, dx = -2 \int \frac{1}{x} \, dx $$

Biểu thức $\frac{1}{x}$ có nguyên hàm là $\ln|x|$. Do đó:
$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C $$

Vậy:
$$ -2 \int \frac{1}{x} \, dx = -2 \ln|x| + C $$

Bước 3: Kết hợp các kết quả trên

Nguyên hàm của $\int \left( \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x} \right) dx$ là:
$$ \int \left( \frac{\sqrt{x}}{2} - \frac{2}{x} \right) dx = \frac{1}{3} x^{3/2} - 2 \ln|x| + C $$

Đáp số:
$$ \boxed{\frac{1}{3} x^{3/2} - 2 \ln|x| + C} $$