giuopppppppppp Cho hàm số $f(x)=$,$\left\{\begin{array}lax^2+bx+1~khi~x\geq0\ax-b-1~khi~x

Question

giuopppppppppp Cho hàm số $f(x)=$,$\left\{\begin{array}lax^2+bx+1~khi~x\geq0\ax-b-1~khi~x<0\end{array}ight..$ Khi hàm số $f(x)$,có đạo hàm tại $x_0=0,~tính~T=a+2b.$,Đáp án:

Accepted Answer

Để hàm số $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0 = 0$, điều kiện cần thiết là hàm số liên tục tại điểm đó và các giới hạn một phía của đạo hàm phải bằng nhau.

Trước tiên, ta kiểm tra tính liên tục của hàm số tại $x = 0$:
- Giới hạn bên trái: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = a(0) - b - 1 = -b - 1$
- Giới hạn bên phải: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = a(0)^2 + b(0) + 1 = 1$

Hàm số liên tục tại $x = 0$ nếu:
$$ -b - 1 = 1 $$
$$ -b = 2 $$
$$ b = -2 $$

Tiếp theo, ta kiểm tra đạo hàm của hàm số tại $x = 0$:
- Đạo hàm bên trái: $f'(x) = a$ khi $x < 0$
- Đạo hàm bên phải: $f'(x) = 2ax + b$ khi $x > 0$

Để đạo hàm tồn tại tại $x = 0$, ta cần:
$$ a = b $$

Thay $b = -2$ vào, ta có:
$$ a = -2 $$

Cuối cùng, ta tính $T = a + 2b$:
$$ T = -2 + 2(-2) = -2 - 4 = -6 $$

Đáp số: $T = -6$