giúp em vs ạ Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}lx^2+1~khi~x\geq1\2x~khi~x

Question

giúp em vs ạ Cho hàm số $y=f(x)=\left\{\begin{array}lx^2+1~khi~x\geq1\2x~khi~x<1\end{array}ight.$,(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai),$a)~f^\prime(1)=2.$,$b)~f(x)$ không có đạo hàm tại,$x_0=1.$,$c)~f^\prime(0)=2.$,$d)~f(2)=4.$,11

Accepted Answer

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của hàm số và tính đạo hàm tại các điểm cần thiết.

Hàm số đã cho là:
$$ y = f(x) = \begin{cases} 
x^2 + 1 & \text{khi } x \geq 1 \
2x & \text{khi } x < 1 
\end{cases} $$

a) $ f'(1) = 2 $

Để kiểm tra đạo hàm tại $ x = 1 $, chúng ta cần kiểm tra giới hạn từ bên trái và bên phải của đạo hàm tại điểm đó.

- Đạo hàm từ bên phải ($ x \to 1^+ $):
$$ f(x) = x^2 + 1 $$
$$ f'(x) = 2x $$
$$ f'(1^+) = 2 \cdot 1 = 2 $$

- Đạo hàm từ bên trái ($ x \to 1^- $):
$$ f(x) = 2x $$
$$ f'(x) = 2 $$
$$ f'(1^-) = 2 $$

Vì cả hai giới hạn đều bằng 2, nên đạo hàm tồn tại và bằng 2 tại $ x = 1 $. Vậy:
$$ f'(1) = 2 $$

b) $ f(x) $ không có đạo hàm tại $ x_0 = 1 $

Như đã kiểm tra ở trên, đạo hàm từ cả hai phía đều bằng 2, do đó hàm số có đạo hàm tại $ x = 1 $. Vậy:
$$ f(x) \text{ có đạo hàm tại } x_0 = 1 $$

c) $ f'(0) = 2 $

Tại $ x = 0 $, hàm số là:
$$ f(x) = 2x $$
$$ f'(x) = 2 $$
$$ f'(0) = 2 $$

d) $ f(2) = 4 $

Tại $ x = 2 $, hàm số là:
$$ f(x) = x^2 + 1 $$
$$ f(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 $$

Kết luận

- a) Đúng: $ f'(1) = 2 $
- b) Sai: $ f(x) $ có đạo hàm tại $ x_0 = 1 $
- c) Đúng: $ f'(0) = 2 $
- d) Sai: $ f(2) = 5 $

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.