Cho hình vuông $\left(C_1\right)$ có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $\left(C_2\right)$ (như hình vẽ). Từ hình vuông $\left(C_2\right)$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$. Gọi $S_1$ là diện tích của hình vuông $C_i(i=1,2,3, \ldots)$. Đặt T $=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n+\ldots$. Biết T $=\frac{32}{3}$, tính a?

Question

Cho hình vuông $\left(C_1\right)$ có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $\left(C_2\right)$ (như hình vẽ).
Từ hình vuông $\left(C_2\right)$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$. Gọi $S_1$ là diện tích của hình vuông $C_i(i=1,2,3, \ldots)$. Đặt T $=S_1+S_2+S_3+\ldots+S_n+\ldots$. Biết T $=\frac{32}{3}$, tính a? <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/6c41d1f4cd16420e89bb1dfad7a06b48.jpg />

Accepted Answer

\begin{equation}
\begin{aligned}
& C_1 ext { cạnh } a \Rightarrow S_1=a^2 \
& C_2 ext { cạnh } b=\sqrt{\left(\frac{(3 a)^2}{4} ight)+\left(\frac{a}{4} ight)^2}=\sqrt{\frac{5 a^2}{8}} \Rightarrow S_2=\frac{5 a^2}{8} \
& \ldots . \
& C_n ext { cạnh } c=\sqrt{\left(\frac{5}{8} ight)^{n-1} a^2} \Rightarrow S_n=\left(\frac{5}{8} ight)^{n-1} a^2 \Rightarrow S_n=\left(\frac{5}{8} ight)^{n-1} a^2 \
& ext { Do đó }: T=\left[S_1+S_2+\ldots+S_n+\ldots ight]=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow\left[1+\frac{5}{8}+\left(\frac{5}{8} ight)^2+\ldots+\left(\frac{5}{8} ight)^{n-1}+\ldots ight] a^2=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow \lim _{n ightarrow+\infty} a^2\left[1+\frac{5}{8}+\left(\frac{5}{8} ight)^2+\ldots+\left(\frac{5}{8} ight)^{n-1} ight]=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow a^2 \cdot \lim _{n ightarrow+\infty} \frac{1-\left(\frac{5}{8} ight)^n}{1-\frac{5}{8}}=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow a^2 \cdot \frac{1}{1-\frac{5}{8}}=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow a^2 \cdot \frac{1}{\frac{3}{8}}=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow a^2 \cdot \frac{8}{3}=\frac{32}{3} \
& \Leftrightarrow a^2=\frac{32}{3}: \frac{8}{3} \
& \Leftrightarrow a^2=4 \
& \Leftrightarrow a=2
\end{aligned}
\end{equation}

Cho hình vuông có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông (như hình vẽ...