Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC, đường tròn đường kính cư cắt hai đường thẳng BM, Bc lần lượt tại D, N. Chứng minh rằng: Tứ giác ABCD nội tiếp. Câu 2: Cho đường tr...

Câu 1: Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện bằng 180°. 1. Chứng minh góc $$: - Vì $$ là đường kính của đường tròn, nên $$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, $$. 2. Chứng minh góc $$: - Tam giác $$ vuông tại $$, nên $$. 3. Tổng của hai góc đối diện: - Ta có $$. Vậy, tứ giác $$ nội tiếp vì tổng của hai góc đối diện bằng 180°. Kết luận: Tứ giác $$ nội tiếp. Câu 2: Để chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác này bằng 180°. 1. Xác định các góc liên quan: - Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C, nên ta có: $$ 2. Tổng các góc trong tứ giác ABOC: - Ta biết rằng tổng các góc trong một tứ giác là 360°. Do đó: $$ 3. Chứng minh tổng của hai góc đối diện: - Ta cần chứng minh rằng: $$ - Vì $$, ta có: $$ 4. Kết luận: - Vì tổng của hai góc đối diện $$ và $$ bằng 180°, nên tứ giác ABOC nội tiếp. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác ABOC nội tiếp. Câu 3: Để chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp trong một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện của tứ giác này bằng 180°. 1. Xác định các góc trong tam giác và đường tròn: - Vì đường tròn (O) có đường kính BC, nên góc BMC và BNC đều là góc vuông (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Do đó, góc BMC = 90° và góc BNC = 90°. 2. Tính góc AMH và ANH: - Gọi góc BAM là α và góc CAN là β. - Vì góc BMC = 90°, nên góc AMH = 90° - α. - Vì góc BNC = 90°, nên góc ANH = 90° - β. 3. Tính tổng các góc đối diện của tứ giác AMHN: - Tổng các góc đối diện của tứ giác AMHN là: $$ - Ta biết rằng tổng các góc trong tam giác ABC là 180°, tức là: $$ - Vì góc BAC = α + β, nên: $$ 4. Kết luận: - Từ trên ta thấy: $$ - Vì tổng các góc đối diện của tứ giác AMHN bằng 180°, nên tứ giác AMHN nội tiếp trong một đường tròn. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác AMHN nội tiếp trong một đường tròn. Câu 4: Để chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện bằng 180°. Bước 1: Xác định các góc liên quan - Gọi góc BAK là $$. - Gọi góc BCK là $$. Bước 2: Chứng minh góc BAK và góc BCK là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK. - Vì K thuộc đường tròn (O, R) và MN vuông góc với AB tại C, nên góc BAK và góc BCK đều là góc nội tiếp chắn cung BK. Bước 3: Chứng minh góc BAK và góc BCK bằng nhau. - Góc BAK và góc BCK là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK, do đó góc BAK = góc BCK. Bước 4: Chứng minh tổng của hai góc đối diện của tứ giác BCHK bằng 180°. - Ta có góc BHK = 180° - góc BAK (vì góc BHK và góc BAK là hai góc kề bù). - Ta cũng có góc BCK = góc BAK (chắn cung BK). Do đó, tổng của hai góc đối diện của tứ giác BCHK là: góc BHK + góc BCK = (180° - góc BAK) + góc BAK = 180°. Vậy tứ giác BCHK nội tiếp. Câu 5: Để chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện trong tứ giác này bằng 180°. 1. Xác định các góc liên quan: - Gọi góc $$. - Gọi góc $$. - Gọi góc $$. 2. Tính góc $$: - Vì A, B, E nằm trên đường tròn (O), nên góc $$ là góc nội tiếp chắn cung AB. - Góc nội tiếp chắn cung AB sẽ bằng nửa góc tâm chắn cùng cung đó. Do đó, $$. 3. Tính góc $$: - Ta biết rằng đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. - Gọi góc $$. Vì đường thẳng vuông góc với AB tại A, nên $$. - Góc $$ là góc kề bù với góc $$, do đó $$. 4. Tính tổng các góc đối diện trong tứ giác ABEF: - Tổng các góc đối diện trong tứ giác ABEF là $$. - Ta có $$ và $$. - Do đó, tổng các góc đối diện là $$. 5. Chứng minh tổng các góc đối diện bằng 180°: - Để chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh $$. - Điều này có nghĩa là $$. 6. Kết luận: - Vì $$, tổng các góc đối diện trong tứ giác ABEF là $$. - Do đó, tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác ABEF nội tiếp đường tròn. Bài 6. Trong tam giác nhọn ABC, ta có các chân đường cao là D, E, F và trực tâm là H. Ta sẽ chỉ ra các tứ giác nội tiếp có trong hình. 1. Xét tứ giác ADBH: - Ta có góc ADB = 90° (vì AD là đường cao hạ từ đỉnh A) - Góc AHB = 90° (vì AH và BH là các đường cao hạ từ đỉnh A và B) - Vậy tứ giác ADBH có tổng hai góc đối bằng 180°, do đó tứ giác ADBH nội tiếp. 2. Xét tứ giác BECH: - Ta có góc BEC = 90° (vì BE là đường cao hạ từ đỉnh B) - Góc BHC = 90° (vì BH và CH là các đường cao hạ từ đỉnh B và C) - Vậy tứ giác BECH có tổng hai góc đối bằng 180°, do đó tứ giác BECH nội tiếp. 3. Xét tứ giác CFHA: - Ta có góc CFA = 90° (vì CF là đường cao hạ từ đỉnh C) - Góc CHA = 90° (vì CH và AH là các đường cao hạ từ đỉnh C và A) - Vậy tứ giác CFHA có tổng hai góc đối bằng 180°, do đó tứ giác CFHA nội tiếp. Như vậy, các tứ giác nội tiếp trong hình là: ADBH, BECH và CFHA. Bài 7. Để chứng minh rằng tứ giác AMIO nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc AMI và góc AIO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO. Bước 1: Xác định các góc liên quan - Góc AMB và góc ACB là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB, do đó $$. - Góc AMB và góc AMI là hai góc kề bù, do đó $$. - Góc ACB và góc ACI là hai góc kề bù, do đó $$. Bước 2: Chứng minh góc AMI và góc AIO là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AO - Vì I là trung điểm của dây BC, nên OI vuông góc với BC tại I. Do đó, góc OIA là góc vuông, tức là $$. - Góc AMI và góc AIO là hai góc kề bù, do đó $$. Bước 3: Kết luận - Ta đã chứng minh được $$, tức là cả hai góc này đều chắn cung AO. - Do đó, tứ giác AMIO nội tiếp. Đáp số: Tứ giác AMIO nội tiếp. Bài 8. Để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng của hai góc đối diện bằng 180°. 1. Chứng minh góc CDM = góc CAB: - Vì đường tròn đường kính CM nên góc CMD = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Xét tam giác CMD và tam giác CAB: - Góc CMD = 90° = góc CAB (vì tam giác ABC vuông tại A). - Góc MCD chung. - Do đó, tam giác CMD đồng dạng với tam giác CAB (góc - góc). - Từ đó suy ra góc CDM = góc CAB. 2. Chứng minh góc CDA + góc CBA = 180°: - Ta có góc CDA = 180° - góc CDM (hai góc kề bù). - Thay góc CDM bằng góc CAB ta có: - góc CDA = 180° - góc CAB. - Ta cũng biết góc CAB + góc CBA = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A). - Do đó, góc CDA + góc CBA = (180° - góc CAB) + góc CBA = 180°. Vậy tứ giác ABCD nội tiếp. Bài tập 9. Để chứng minh rằng MINE nội tiếp được, ta cần chứng minh rằng các điểm M, I, N, E nằm trên cùng một đường tròn. Ta sẽ sử dụng tính chất của các góc nội tiếp và ngoại tiếp để làm điều này. 1. Xác định các góc liên quan: - Vì đường thẳng $$ là cát tuyến của đường tròn $$, nên góc $$ và góc $$ là các góc nội tiếp chắn cung $$ và $$ tương ứng. - Góc $$ là góc vuông vì $$ là đường kính của đường tròn $$ và $$ là điểm chính giữa của $$. 2. Tính chất của các góc nội tiếp và ngoại tiếp: - Góc $$ và góc $$ đều chắn cung $$ và $$ tương ứng. - Góc $$ là góc vuông, do đó góc $$ và góc $$ cũng là các góc vuông. 3. Chứng minh các điểm M, I, N, E nội tiếp: - Vì $$ là cát tuyến của đường tròn $$, nên góc $$ và góc $$ là các góc nội tiếp chắn cung $$ và $$ tương ứng. - Góc $$ và góc $$ là các góc vuông, do đó các điểm $$ nằm trên cùng một đường tròn. 4. Kết luận: - Các điểm $$ nằm trên cùng một đường tròn, do đó MINE nội tiếp được. Vậy, ta đã chứng minh rằng MINE nội tiếp được. Bài 10. Để chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc A: - Ta biết tổng các góc trong một tam giác bằng 180°. - Vậy góc A = 180° - góc B - góc C = 180° - 60° - 80° = 40°. 2. Tìm góc EFC và góc EBF: - Vì BE và CF là các đường cao hạ từ đỉnh B và C xuống cạnh AC và AB, nên góc BEC = 90° và góc CFB = 90°. - Góc EFC = 180° - góc CFB = 180° - 90° = 90°. - Góc EBF = 180° - góc BEC = 180° - 90° = 90°. 3. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp: - Ta thấy rằng góc EFC = 90° và góc EBF = 90°. - Trong một tứ giác nội tiếp, tổng của hai góc đối diện bằng 180°. - Vậy góc EFC + góc EBF = 90° + 90° = 180°. - Do đó, tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn. 4. Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là trung điểm của cạnh BC: - Vì góc EFC = 90° và góc EBF = 90°, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF sẽ có đường kính là đoạn thẳng EF. - Trong tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của cạnh huyền. - Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là trung điểm của cạnh BC. Kết luận: Tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.