Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a√3 ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) .Gọi H,K lần lượt là trung điểm AB và CD.
1)Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp SHKC.
2)Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Question

Accepted Answer

1) Xét $ riangle S A B$ đều cạnh $a$ có:
$H$ là trung điếm $A B$

$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}H A=H B=\frac{1}{2} A B=a \S H \perp A B \S H=a \sqrt{3}\end{array} ight.$
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
(S A B) \perp(A B C D) \quad(g t) \
(S A B) \cap(A B C D)=A B \
S H \perp A B(c m t) \
S H \subset(S A B)
\end{array} ight. \
& \Rightarrow S H \perp(A B C D) \
& \Rightarrow S H \perp H C \
& \Rightarrow riangle S H C ext { vuông tại } H
\end{aligned}
$$

Áp dụng đīnh lý Pytago ta được:

$$
\begin{aligned}
S C^2 & =S H^2+H C^2 \
& =S H^2+H B^2+B C^2 \
& =(a \sqrt{3})^2+a^2+(2 a \sqrt{3})^2 \
& =16 a^2 \
\Rightarrow S C & =4 a
\end{aligned}
$$
Gọi $I$ là trung điếm $S C$

$\Rightarrow I S=I C=I H=\frac{1}{2} S C=2 a$
Mặt khác:
$H K$ là đường trung bình của $A B C D$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow H K / / B C / / A D \
& \Rightarrow C D \perp H K
\end{aligned}
$$

Lại có: $S H \perp C D \quad(S H \perp(A B C D))$
$\Rightarrow C D \perp(S H K)$
$\Rightarrow C D \perp S K$
$\Rightarrow riangle S K C$ vuông tại $K$
mà $I$ là trung điếm cạnh huyyền $S C$

$ext { nên } I S=I C=I K=\frac{1}{2} S C=2 a$
Từ $(1)(2) \Rightarrow I$ là tâm mặt cằu ngoại tiếp $S . H K C$, bán kính $R=\frac{1}{2} S C=2 a$ Khi đó, thế tích mặt cầu:

$$
\begin{aligned}
V & =\frac{4}{3} \pi R^3 \
& =\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot(2 a)^3 \
& =\frac{32 \pi a^3}{3}
\end{aligned}
$$
2) Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
B C \perp A B \
S H \perp B C
\end{array} ight. \
& \Rightarrow B C \perp(S A B) \
& \Rightarrow H K \perp(S A B)
\end{aligned}
$$

Gọi $G$ là trọng tâm $ riangle S A B$
$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ riangle S A B$

$\Rightarrow S A=S B=S C=\frac{2}{3} S H=\frac{2 a \sqrt{3}}{3}$

Từ $G$ ké đường thå̀ng $d \perp(S A B)$
$\Rightarrow d$ là trục cúa mặt cầu ngoại tiếp $S . A B C$

$\Rightarrow d / / H K$

Trong $m p(S H K), d$ căt $S K$ tại $P$
Gọi $M$ là trung điếm $B C$

$\Rightarrow M B=M C=\frac{1}{2} B C=a \sqrt{3}$

Trong $m p(B C P G)$, đường trung trực cúa $B C$ cất $d$ tại $J$ $\Rightarrow J$ là tầm mặt cầu ngoại tiếp $S . A B C$
Ta có:

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}B C \perp B G & (B C \perp(S A B)) \
B C \perp J M & ext { (cách dựng) }\end{cases} \
& \Rightarrow J M / / B G
\end{aligned}
$$

Lại có: $G J / / B M \quad(d / / B C)$
Do đó: $B M J G$ là hình bình hành

$\Rightarrow G J=B M=a \sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$$
\begin{aligned}
R^2 & =J B^2=G J^2+B G^2 \
& =(a \sqrt{3})^2+\left(\frac{2 a \sqrt{3}}{3} ight)^2 \
& =\frac{13 a^2}{3}
\end{aligned}
$$

Khi đó, diện tích mặt cầu:

$$
\begin{aligned}
S & =4 \pi R^2 \
& =4 \cdot \pi \cdot \frac{13 a^2}{3} \
& =\frac{52 \pi a^2}{3}
\end{aligned}
$$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB=2a,AD=2a√3 ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) .Gọi H,K lần lượt là trung điểm AB và CD. 1)Xác định tâm và tính thể...