chọn đáp án đúng

Câu 21. Để rút gọn biểu thức $A=\frac{a^{\frac13}\sqrt b+b^{\frac13}\sqrt a}{\sqrt[6]a+\sqrt[6]b}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại các căn thức dưới dạng lũy thừa: \[ a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{6}}, \quad \sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{3}{6}}, \quad b^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{2}{6}}, \quad \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{6}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} + b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} \] Bước 3: Nhân cả tử và mẫu với $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$ để tạo ra hiệu hai bình phương: \[ A = \frac{(a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} + b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})}{(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})} \] Bước 4: Tính hiệu hai bình phương ở mẫu: \[ (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}) = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}} \] Bước 5: Nhân tử với $(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})$: \[ (a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} + b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}) = a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} a^{\frac{1}{6}} - a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{3}{6}} b^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}} a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{2}{6}} a^{\frac{3}{6}} b^{\frac{1}{6}} \] \[ = a^{\frac{3}{6}} b^{\frac{3}{6}} - a^{\frac{2}{6}} b^{\frac{4}{6}} + b^{\frac{3}{6}} a^{\frac{4}{6}} - b^{\frac{3}{6}} a^{\frac{3}{6}} \] \[ = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} \] Bước 6: Gộp các hạng tử: \[ = a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}} \] Bước 7: Chia cả tử và mẫu cho $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$: \[ A = \frac{a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{1}{2}} a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} \] Bước 8: Kết quả rút gọn: \[ A = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}} \] Do đó, $A = a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{6}}$. Điều này có nghĩa là $m = \frac{1}{6}$ và $n = \frac{1}{6}$. Tích của $m$ và $n$ là: \[ m \cdot n = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \] Vậy đáp án đúng là: D. $\frac{1}{36}$ Câu 22. Để rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt[3]{a^7}.a^{\frac{11}3}}{a^4.\sqrt[7]{a^{-5}}}$ với $a>0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển các căn thức và lũy thừa về dạng số mũ: - $\sqrt[3]{a^7} = a^{\frac{7}{3}}$ - $\sqrt[7]{a^{-5}} = a^{-\frac{5}{7}}$ Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{a^{\frac{7}{3}} \cdot a^{\frac{11}{3}}}{a^4 \cdot a^{-\frac{5}{7}}} \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa cùng cơ sở: \[ A = \frac{a^{\frac{7}{3} + \frac{11}{3}}}{a^{4 - \frac{5}{7}}} \] \[ A = \frac{a^{\frac{18}{3}}}{a^{\frac{28}{7} - \frac{5}{7}}} \] \[ A = \frac{a^6}{a^{\frac{23}{7}}} \] Bước 4: Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ sở: \[ A = a^{6 - \frac{23}{7}} \] \[ A = a^{\frac{42}{7} - \frac{23}{7}} \] \[ A = a^{\frac{19}{7}} \] Vậy $A = a^{\frac{19}{7}}$. Trong đó, $m = 19$ và $n = 7$. Bây giờ, chúng ta kiểm tra các khẳng định: A. $m^2 - n^2 = 19^2 - 7^2 = 361 - 49 = 312$ B. $m^2 + n^2 = 19^2 + 7^2 = 361 + 49 = 410$ C. $m^2 - n^2 = -(361 - 49) = -312$ D. $m^2 + n^2 = 19^2 + 7^2 = 361 + 49 = 410$ Như vậy, khẳng định đúng là: A. $m^2 - n^2 = 312$ Đáp án: A. $m^2 - n^2 = 312$ Câu 23. Để đơn giản biểu thức \( P = \frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{\frac{-1}{3}} + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{-1}{4}})} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân các lũy thừa trong tử số và mẫu số: \[ P = \frac{a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{-1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{-1}{4}}} \] Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở: \[ P = \frac{a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3} + \frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4} - \frac{1}{4}}} \] \[ P = \frac{a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}}}{a^{\frac{4}{4}} + a^{0}} \] \[ P = \frac{a^1 + a^2}{a^1 + 1} \] \[ P = \frac{a + a^2}{a + 1} \] Bước 3: Rút gọn phân thức: \[ P = \frac{a(1 + a)}{a + 1} \] \[ P = a \] Vậy đáp án đúng là: C. \( P = a \)