Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC).
a) CM: BOMH là tứ giác nội tiếp
b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH=BE.HC
Gợi ý câu b:
∆MHC ~ ∆BHM
MH/BH=HC/HM
-- MH^2 = BH.HC
Ta cần phải chứng minh: MH=ME
nhưng vẫn chứng minh : ∆ MHC ~ ∆BHM
MH/BH=HC/HM
-- MH^2 = BH.HC
làm câu b theo gợi ý của mình

Question

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). 
a) CM: BOMH là tứ giác nội tiếp
b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH=BE.HC
Gợi ý câu b:
∆MHC ~ ∆BHM
MH/BH=HC/HM
--> MH^2 = BH.HC
Ta cần phải chứng minh: MH=ME
nhưng vẫn chứng minh : ∆ MHC ~ ∆BHM
MH/BH=HC/HM
--> MH^2 = BH.HC
làm câu b theo gợi ý của mình

Accepted Answer

a) Chứng minh $B O M H$ là tú giác nội tiếp

Vì $A B \perp M N$ tại $O$ nên $\angle M O B=90^{\circ}$
Vì $M H \perp B C$ tại $H$ nên $\angle M H B=90^{\circ}$
Xét tứ giác $B O M H$ có $\angle M O B+\angle M H B=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$ mà hai góc ở vị trí đối nhau nên $B O M H$ là tứ giác nội tiếp (dhnb).
b) $M B$ cắt $O H$ tại $E$. Chứng minh $M E . H M=B E . H C$.

Ta có có $A B=M N, A B \perp M N$ tại $O$ nên $M B N A$ là hình vuông
Xét tam giác $H M B$ và tam giác $H C M$ có
$\angle M H B=\angle C H M=90^{\circ}$ và $\angle H M B=\angle M C H$ (cùng phụ với $\angle C M H$ )
Suy ra $\Delta H M B \sim \Delta H C M(g-g) \Rightarrow \frac{H M}{H B}=\frac{H C}{H M}$ (1)
Vì tứ giác $B O H M$ nội tiếp (theo câu a) nên $\angle M H E=\angle O B M$ mà $\angle O B M=45^{\circ}$ (do $M B N A$ là hình vuông)

Do đó $\angle M H E=\angle E H B$ hay $H E$ là phân giác $\angle M H B$.

Xét tam giác $M H B$ có $H E$ là tia phân giác $\angle M H B$ nên $\frac{M E}{E B}=\frac{M H}{H B} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{H C}{H M}=\frac{M E}{E B} \Rightarrow H C \cdot E B=M H . M E$ (đpcm)

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC). a) CM: BOMH là tứ giác nội tiếp b) MB cắt OH tạ...