Giảichi tiết Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm $A(2;4;1);B(-1;1;3)$ và mặt phẳng,$(P):~x-3y+2z-5=0.$ Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng,(P) có dạng $ax+by+cz-11=0.$ Tính giá trị của $2a+b+c.$,PHẦN IV. Tự luận :,$\int\frac12.\frac{3^2}{\ln3}-3.\frac12.e^{-2}$ $10.~e^{-x}.1\vdots(\sin\frac x2+\cos\frac x2)^2dx$,Câu 1. Thực hiện tính,Câu 2. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó,muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm x (triệu đồng) $(x\geq0).$ Tốc độ thay đổi doanh,thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^\prime(x)=-10x+300,$ trong đó $T^\prime(x)$ tính,bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu,người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 10 000 triệu đồng.,Tìm giá trị của x để người đó có doanh thu là cao nhất? Doanh thu cao nhất là bao nhiêu triệu,đồng?,Câu 3. Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện,tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 28m và rộng 85m (Lààm tròn đếnccữ ố tthpp,phân thứ hai).

Question

Giảichi tiết Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm $A(2;4;1);B(-1;1;3)$ và mặt phẳng,$(P):~x-3y+2z-5=0.$ Một mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A,B và vuông góc với mặt phẳng,(P) có dạng $ax+by+cz-11=0.$ Tính giá trị của $2a+b+c.$,PHẦN IV. Tự luận :,$\int\frac12.\frac{3^2}{\ln3}-3.\frac12.e^{-2}$ $10.~e^{-x}.1\vdots(\sin\frac x2+\cos\frac x2)^2dx$,Câu 1. Thực hiện tính,Câu 2. Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó,muốn tăng giá cho thuê của mỗi gian hàng thêm x (triệu đồng) $(x\geq0).$ Tốc độ thay đổi doanh,thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^\prime(x)=-10x+300,$ trong đó $T^\prime(x)$ tính,bằng triệu đồng (Nguồn: R.Larson anh B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Biết rằng nếu,người đó tăng giá thuê cho mỗi gian hàng thêm 10 triệu đồng thì doanh thu là 10 000 triệu đồng.,Tìm giá trị của x để người đó có doanh thu là cao nhất? Doanh thu cao nhất là bao nhiêu triệu,đồng?,Câu 3. Người ta dự định lắp kính cho cửa của một mái vòm có dạng hình parabol. Hãy tính diện,tích mặt kính cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao 28m và rộng 85m (Lààm tròn đếnccữ  ố tthpp,phân thứ hai).

Accepted Answer

Câu 4.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
2. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$.
3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ dựa trên điều kiện vuông góc với $(P)$ và chứa $\overrightarrow{AB}$.
4. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ và xác định các hệ số $a$, $b$, $c$.
5. Tính giá trị của $2a + b + c$.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - 3y + 2z - 5 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, -3, 2)$.

Bước 2: Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, 1 - 4, 3 - 1) = (-3, -3, 2)$.

Bước 3: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (a, b, c)$. Vì $(Q)$ vuông góc với $(P)$ nên $\vec{n}_Q$ phải vuông góc với $\vec{n}_P$. Điều này có nghĩa là:
$$ \vec{n}_Q \cdot \vec{n}_P = 0 $$
$$ a \cdot 1 + b \cdot (-3) + c \cdot 2 = 0 $$
$$ a - 3b + 2c = 0 \quad \text{(1)} $$

Mặt khác, vì $(Q)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$, nên $\vec{n}_Q$ phải vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Điều này có nghĩa là:
$$ \vec{n}_Q \cdot \overrightarrow{AB} = 0 $$
$$ a \cdot (-3) + b \cdot (-3) + c \cdot 2 = 0 $$
$$ -3a - 3b + 2c = 0 \quad \text{(2)} $$

Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm $a$, $b$, $c$.
Ta có hệ phương trình:
$$ 
\begin{cases}
a - 3b + 2c = 0 \
-3a - 3b + 2c = 0
\end{cases}
$$

Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất:
$$ (-3a - 3b + 2c) - (a - 3b + 2c) = 0 $$
$$ -3a - 3b + 2c - a + 3b - 2c = 0 $$
$$ -4a = 0 $$
$$ a = 0 $$

Thay $a = 0$ vào phương trình thứ nhất:
$$ 0 - 3b + 2c = 0 $$
$$ -3b + 2c = 0 $$
$$ 2c = 3b $$
$$ c = \frac{3}{2}b $$

Chọn $b = 2$, ta có $c = 3$.

Bước 5: Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ và tính giá trị của $2a + b + c$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là:
$$ 0x + 2y + 3z - 11 = 0 $$

Tính giá trị của $2a + b + c$:
$$ 2a + b + c = 2 \cdot 0 + 2 + 3 = 5 $$

Đáp số: $2a + b + c = 5$.

Câu 1.
Để thực hiện tính toán, chúng ta cần biết cụ thể bài toán là gì. Bạn vui lòng cung cấp thêm thông tin về bài toán cần giải quyết.

Câu 2.
Để tìm giá trị của $ x $ sao cho doanh thu là cao nhất và doanh thu cao nhất là bao nhiêu triệu đồng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm doanh thu $ T(x) $:
   - Biết rằng tốc độ thay đổi doanh thu $ T'(x) = -10x + 300 $.
   - Để tìm hàm doanh thu $ T(x) $, ta tích phân $ T'(x) $:
     $$
     T(x) = \int (-10x + 300) \, dx = -5x^2 + 300x + C
     $$
   - Ta biết rằng khi $ x = 10 $, doanh thu là 10 000 triệu đồng. Thay vào để tìm hằng số $ C $:
     $$
     T(10) = -5(10)^2 + 300(10) + C = 10000
     $$
     $$
     -500 + 3000 + C = 10000
     $$
     $$
     2500 + C = 10000
     $$
     $$
     C = 7500
     $$
   - Vậy hàm doanh thu là:
     $$
     T(x) = -5x^2 + 300x + 7500
     $$

2. Tìm giá trị của $ x $ để doanh thu là cao nhất:
   - Để tìm giá trị của $ x $ sao cho doanh thu là cao nhất, ta tìm điểm cực đại của hàm $ T(x) $.
   - Đạo hàm của $ T(x) $ là:
     $$
     T'(x) = -10x + 300
     $$
   - Đặt $ T'(x) = 0 $ để tìm giá trị của $ x $:
     $$
     -10x + 300 = 0
     $$
     $$
     10x = 300
     $$
     $$
     x = 30
     $$

3. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại:
   - Đạo hàm thứ hai của $ T(x) $ là:
     $$
     T''(x) = -10
     $$
   - Vì $ T''(x) < 0 $, hàm $ T(x) $ đạt cực đại tại $ x = 30 $.

4. Tính doanh thu cao nhất:
   - Thay $ x = 30 $ vào hàm doanh thu $ T(x) $:
     $$
     T(30) = -5(30)^2 + 300(30) + 7500
     $$
     $$
     T(30) = -5(900) + 9000 + 7500
     $$
     $$
     T(30) = -4500 + 9000 + 7500
     $$
     $$
     T(30) = 12000
     $$

Kết luận: Giá trị của $ x $ để người đó có doanh thu là cao nhất là 30 triệu đồng. Doanh thu cao nhất là 12 000 triệu đồng.

Câu 3.
Để tính diện tích mặt kính cần lắp vào, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích dưới đồ thị của hàm số parabol.

Bước 1: Xác định phương trình của parabol
- Parabol có đỉnh ở điểm (0, 28) và đi qua điểm (-42.5, 0) và (42.5, 0).

Phương trình chung của parabol có dạng:
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
Trong đó, (h, k) là tọa độ đỉnh của parabol. Ở đây, đỉnh là (0, 28), nên:
$$ y = ax^2 + 28 $$

Điểm (42.5, 0) nằm trên parabol, thay vào phương trình:
$$ 0 = a(42.5)^2 + 28 $$
$$ 0 = a \cdot 1806.25 + 28 $$
$$ a = -\frac{28}{1806.25} \approx -0.0155 $$

Vậy phương trình của parabol là:
$$ y = -0.0155x^2 + 28 $$

Bước 2: Tính diện tích mặt kính
Diện tích cần tính là diện tích giữa đồ thị của hàm số $ y = -0.0155x^2 + 28 $ và trục hoành từ x = -42.5 đến x = 42.5.

Diện tích $ A $ được tính bằng tích phân:
$$ A = 2 \int_{0}^{42.5} (-0.0155x^2 + 28) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_{0}^{42.5} (-0.0155x^2 + 28) \, dx = \left[ -0.0155 \cdot \frac{x^3}{3} + 28x \right]_{0}^{42.5} $$
$$ = \left[ -0.0155 \cdot \frac{(42.5)^3}{3} + 28 \cdot 42.5 \right] - \left[ -0.0155 \cdot \frac{0^3}{3} + 28 \cdot 0 \right] $$
$$ = \left[ -0.0155 \cdot \frac{76765.625}{3} + 1190 \right] $$
$$ = \left[ -0.0155 \cdot 25588.54167 + 1190 \right] $$
$$ = \left[ -397.074 + 1190 \right] $$
$$ = 792.926 $$

Diện tích tổng cộng:
$$ A = 2 \times 792.926 = 1585.852 $$

Vậy diện tích mặt kính cần lắp vào là khoảng 1585.85 m² (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).