cho tam giác ABC vuông tại A(AC

Question

cho tam giác ABC vuông tại A(AC<AB). Vẽ đường cao AH(H ∈ BC). Trên tia đối của tia BClaays điểm K sao cho KH=HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt AC tại P. Gọi Q là trung điểm của BP chứng minh:  QH là đường trung trựccủa đoạn thẳng AK

Accepted Answer

Vì $\displaystyle KP\ //AH$

$\displaystyle \Rightarrow KP\ \perp BC.$

Xét tam giác AHK có $\displaystyle KH\ =\ HA$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta AHK$ vuông cân tại H.

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{HAK} =\widehat{HKA} =\ 45^{0}$

Vì $\displaystyle KP//AH$

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{PKH} =\widehat{AHK} =\ 90^{0}$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta PKH\ $vuông cân tại K.

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{KPH} =\widehat{KHP} =45^{0}$

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AKH} +\widehat{KHP} =45^{0} +45^{0} =90^{0}$

$\displaystyle \Rightarrow AK\ \perp \ HP$

Vì Q là trung điểm BP, tam giác HPB vuông tại P

$\displaystyle \Rightarrow \ QH\ =\ QB\ =\ QP.$

Do đó, tam giác QHP cân tại Q.

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{QHP} =\widehat{QPH} =\ 45^{0}$

$\displaystyle \Rightarrow \widehat{AKH} +\widehat{QHP} =45^{0} +45^{0} =90^{0}$

$\displaystyle \Rightarrow AK\perp \ QH$

Gọi I là giao điểm của AK và QH.

Xét tam giác AKH vuông cân tại H, ta có trung tuyến HI cũng là đường cao.

$\displaystyle \Rightarrow HI\perp AK$

Vì $\displaystyle QH\perp \ AK$

$\displaystyle \Rightarrow HI//\ QH.$

Do đó, I nằm trên QH.

Vì I là trung điểm của AK

$\displaystyle \Rightarrow $QH đi qua trung điểm của AK.

cho tam giác ABC vuông tại A(AC<AB). Vẽ đường cao AH(H ∈ BC). Trên tia đối của tia BClaays điểm K sao cho KH=HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt AC tại P. Gọi Q là trung điểm của BP chứng mi...