đjnexbibjzeezijejzb ĐỀ-1-BÀI-22-CHƯƠNG-VII-TOÁN-10-KNTT-2025,PHẦN I: CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN,Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho elip có phương trình $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{16}=1.$ Độ dài trục nhỏ, trục lớn,của đường elip lần lượt là,A. 7 và4. B. 4 và 14 . C. 8và7. D. 8 và14.,Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xác định phương trình chính tắc của elip biết $A_1A_2=16,$,$B_1B_2=10$ với $A_1,A_2$ là giao điểm của elip với trục Ox ; $B_1,B_2$ là giao điểm của elip với trục Oy.,$A.~\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{64}=1.$ $B.~\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{10}=1.$ $C.~\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}8=0.$ $D.~\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{25}=1.$,Câu 3. Phương trình chính tắc của (E) có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và đi qua,điểm $A(2;-2)$ là,$A.~\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{16}=1.$ $B.~\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}9=1.$ $C.~\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}4=1.$ $D.~\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}5=1$,Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , Elip có hai tiêu điểm $F_1(-2;0);F_2(2;0)$ và tổng khoảng,cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng10 có phương trình,$A.~\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1.$ $B.~\frac{x^2}{21}+\frac{y^2}{25}=-1.$ $C.~\frac{x^2}{21}+\frac{y^2}{25}=1.$ $D.~\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=-1.$,Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xác định phương trình chính tắc của elip biết Elip có hai,tiêu điểm $F_1(-2;0);F_2(2;0),$ elip đi qua $M(0;\sqrt{32}).$,$A.~\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}4=1.$ $B.~\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=1.$ $C.~\frac{x^2}{144}+\frac{y^2}4=1.$ $D.~\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{32}=0.$,Câu 6. Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}4-\frac{y^2}5=1.$ Xác định độ dài trục thực và,tiêu cự của (H).,$A.~4và2\sqrt5.$ $B.~2\sqrt5~và6.$ C. 8 và 10. D. 4và6.,Câu 7. Viết phương trình chính tắc của đường hypebol biết tiêu điểm $F_1(-3;0)$ và độ dài trục thực bằng,$4.$,$A.~\frac{x^2}4-\frac{y^2}3=1.$ $B.~\frac{x^2}4-\frac{y^2}3=-1.$ $C.~\frac{x^2}4+\frac{y^2}3=1.$ $D.~\frac{x^2}4-\frac{y^2}5=1.$,Câu 8. Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?,$A.~\frac{x^2}4+\frac{y^2}1=1.$ $B.~\frac{x^2}4+\frac{y^2}1=-1.$ $C.~\frac{x^2}4-\frac{y^2}1=-1.$ $D.~\frac{x^2}4-\frac{y^2}1=1.$,Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là,$F_1(-\sqrt{10};0)$ và đi qua điểm $A(4;-\sqrt2).$,$A.~\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}6=1.$ $B.~\frac{x^2}8-\frac{y^2}4=1.$ $C.~\frac{x^2}8-\frac{y^2}2=1.$ $D.~\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}2=1.$,Câu 10. Cho parabol (P) có phương trình $y^2=4x.$ Tọa độ tiêu điểm của parabol (P) là,$A.~F(-1;0).$ $B.~F(1;0).$ $C.~F(0;1).$ $D.~F(0;-1).$,Câu 11. Trong các phương trình sau đây phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol ?,$A.~y^2=8x.$ $B.~y^2=-4x.$ $C.~y^2=-x.$ $D.~y^2=4x^2.$,Câu 12. Cho parabol $(P):~y^2=2px$ biết rằng parabol có tiêu điểm $F(4;0).$ Phương trình chính tắc của,Parabol đó là:,$A.~y^2=5x.$ $B.~y^2=\frac52x.$ $C.~y^2=16x.$ $D.~y=10x^2.$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Phương trình của elip là $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1$. Ta nhận thấy rằng đây là phương trình của elip tiêu chuẩn dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 49$ và $b^2 = 16$.

Từ đó ta có:
- $a = \sqrt{49} = 7$
- $b = \sqrt{16} = 4$

Trong elip, trục lớn là đoạn thẳng đi qua tâm và hai đỉnh xa nhất của elip, còn trục nhỏ là đoạn thẳng đi qua tâm và hai đỉnh gần nhất của elip. Do đó:
- Độ dài trục lớn là $2a = 2 \times 7 = 14$
- Độ dài trục nhỏ là $2b = 2 \times 4 = 8$

Vậy độ dài trục nhỏ và trục lớn của đường elip lần lượt là 8 và 14.

Đáp án đúng là: D. 8 và 14.

Câu 2.
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán trục lớn và $b$ là bán trục nhỏ.

- Ta biết rằng $A_1A_2 = 16$, do đó $2a = 16 \Rightarrow a = 8$.
- Ta cũng biết rằng $B_1B_2 = 10$, do đó $2b = 10 \Rightarrow b = 5$.

Thay $a = 8$ và $b = 5$ vào phương trình chính tắc của elip, ta được:
$$ \frac{x^2}{8^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1 $$

Vậy phương trình chính tắc của elip là:
$$ \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1 $$

Đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{25} = 1$.

Câu 3.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình chính tắc của elip (E) có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán kính trục lớn và $b$ là bán kính trục nhỏ.
2. Biết rằng độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ, suy ra $a = 2b$.
3. Thay điểm $A(2; -2)$ vào phương trình chính tắc của elip để tìm giá trị của $a$ và $b$.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

Bước 1: Xác định phương trình chính tắc của elip:
$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Bước 2: Biết rằng độ dài trục lớn gấp đôi độ dài trục nhỏ, suy ra:
$$ a = 2b $$
Do đó, phương trình chính tắc của elip trở thành:
$$ \frac{x^2}{(2b)^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{4b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Bước 3: Thay điểm $A(2; -2)$ vào phương trình chính tắc của elip:
$$ \frac{2^2}{4b^2} + \frac{(-2)^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{4}{4b^2} + \frac{4}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{1}{b^2} + \frac{4}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{5}{b^2} = 1 $$
$$ b^2 = 5 $$
$$ b = \sqrt{5} $$

Vì $a = 2b$, nên:
$$ a = 2\sqrt{5} $$
$$ a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20 $$

Bước 4: Viết lại phương trình chính tắc của elip với giá trị đã tìm được:
$$ \frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1 $$

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là:
$$ \frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1 $$

Đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{5} = 1$.

Câu 4.
Để tìm phương trình của elip, ta cần xác định các thông số cơ bản của elip, bao gồm bán trục lớn $a$ và bán trục nhỏ $b$.

1. Xác định bán trục lớn $a$:
   - Tổng khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu điểm bằng 10, tức là $2a = 10$. Do đó, $a = 5$.

2. Xác định khoảng cách giữa hai tiêu điểm:
   - Tiêu điểm $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$ có khoảng cách là $2c$, trong đó $c$ là khoảng cách từ tâm elip đến mỗi tiêu điểm.
   - Khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $2c = 4$, do đó $c = 2$.

3. Xác định bán trục nhỏ $b$:
   - Ta biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$. Thay $a = 5$ và $c = 2$ vào công thức này:
     $$
     2^2 = 5^2 - b^2 \
     4 = 25 - b^2 \
     b^2 = 25 - 4 \
     b^2 = 21 \
     b = \sqrt{21}
     $$

4. Viết phương trình của elip:
   - Phương trình chuẩn của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$.
   - Thay $a^2 = 25$ và $b^2 = 21$ vào phương trình:
     $$
     \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1
     $$

Do đó, phương trình của elip là:
$$ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1 $$

Vậy đáp án đúng là:
A. $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{21} = 1$.

Câu 5.
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a$ là bán trục lớn và $b$ là bán trục nhỏ.

Elip có hai tiêu điểm $F_1(-2;0)$ và $F_2(2;0)$, do đó khoảng cách giữa hai tiêu điểm là $2c = 4$. Suy ra $c = 2$.

Elip đi qua điểm $M(0; \sqrt{32})$, ta thay tọa độ của điểm này vào phương trình chính tắc của elip:
$$
\frac{0^2}{a^2} + \frac{(\sqrt{32})^2}{b^2} = 1 \implies \frac{32}{b^2} = 1 \implies b^2 = 32.
$$

Ta biết rằng $c^2 = a^2 - b^2$. Thay $c = 2$ và $b^2 = 32$ vào:
$$
2^2 = a^2 - 32 \implies 4 = a^2 - 32 \implies a^2 = 36.
$$

Vậy phương trình chính tắc của elip là:
$$
\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1.
$$

Đáp án đúng là: B. $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1$.

Câu 6.
Phương trình chính tắc của hypebol (H) là $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$.

Trong phương trình này, ta nhận thấy rằng:

- $a^2 = 4$ nên $a = 2$
- $b^2 = 5$ nên $b = \sqrt{5}$

Độ dài trục thực của hypebol là $2a$. Do đó:

$$ 2a = 2 \times 2 = 4 $$

Độ dài tiêu cự của hypebol là $2c$, trong đó $c$ được tính theo công thức $c^2 = a^2 + b^2$. Ta có:

$$ c^2 = 4 + 5 = 9 $$
$$ c = \sqrt{9} = 3 $$

Do đó, độ dài tiêu cự là:

$$ 2c = 2 \times 3 = 6 $$

Vậy độ dài trục thực và tiêu cự của (H) lần lượt là 4 và 6.

Đáp án đúng là: D. 4 và 6.

Câu 7.
Để viết phương trình chính tắc của đường hypebol, ta cần xác định các thông số liên quan đến đường hypebol, bao gồm trung tâm, tiêu cự và độ dài trục thực.

Bước 1: Xác định trung tâm của đường hypebol.
- Đường hypebol có tiêu điểm $ F_1(-3;0) $. Vì tiêu điểm nằm trên trục Ox, nên trung tâm của đường hypebol là $ O(0,0) $.

Bước 2: Xác định độ dài trục thực.
- Độ dài trục thực đã cho là 4, vậy bán kính trục thực $ a = \frac{4}{2} = 2 $.

Bước 3: Xác định khoảng cách từ trung tâm đến tiêu điểm.
- Tiêu điểm $ F_1(-3;0) $ có tọa độ (-3,0), do đó khoảng cách từ trung tâm $ O(0,0) $ đến tiêu điểm là 3. Vậy $ c = 3 $.

Bước 4: Xác định bán kính trục phụ $ b $.
- Ta có công thức liên hệ giữa $ a $, $ b $ và $ c $ trong đường hypebol: $ c^2 = a^2 + b^2 $.
- Thay các giá trị đã biết vào:
$$ 3^2 = 2^2 + b^2 $$
$$ 9 = 4 + b^2 $$
$$ b^2 = 5 $$

Bước 5: Viết phương trình chính tắc của đường hypebol.
- Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
- Thay $ a^2 = 4 $ và $ b^2 = 5 $ vào phương trình:
$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 $$

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là:
$$ \boxed{\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1} $$

Đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$.

Câu 8.
Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ hoặc $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$.

Trong các phương trình đã cho:

A. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ là phương trình chính tắc của elip.

B. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = -1$ không là phương trình chính tắc của đường hypebol vì tổng của hai bình phương không thể âm.

C. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = -1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol nhưng dạng $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$.

D. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$ là phương trình chính tắc của đường hypebol dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

Vậy phương trình chính tắc của đường hypebol là $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$.

Đáp án đúng là: D. $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{1} = 1$.

Câu 9.
Để viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có một tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{10};0)$ và đi qua điểm $A(4;-\sqrt2)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số cơ bản của hypebol:
   - Hypebol có tiêu điểm $F_1(-\sqrt{10};0)$, do đó tâm của hypebol là $O(0,0)$ và tiêu cự là $c = \sqrt{10}$.
   - Phương trình chính tắc của hypebol dạng $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

2. Áp dụng điều kiện đi qua điểm A:
   - Thay tọa độ điểm $A(4;-\sqrt2)$ vào phương trình chính tắc:
     $$
     \frac{4^2}{a^2} - \frac{(-\sqrt2)^2}{b^2} = 1
     $$
     $$
     \frac{16}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1
     $$

3. Liên hệ giữa các thông số a, b và c:
   - Ta biết rằng $c^2 = a^2 + b^2$, suy ra $10 = a^2 + b^2$.

4. Giải hệ phương trình:
   - Ta có hai phương trình:
     $$
     \frac{16}{a^2} - \frac{2}{b^2} = 1
     $$
     $$
     a^2 + b^2 = 10
     $$

- Đặt $a^2 = u$ và $b^2 = v$, ta có:
     $$
     \frac{16}{u} - \frac{2}{v} = 1
     $$
     $$
     u + v = 10
     $$

- Từ phương trình thứ hai, ta có $v = 10 - u$. Thay vào phương trình đầu tiên:
     $$
     \frac{16}{u} - \frac{2}{10-u} = 1
     $$
     Nhân cả hai vế với $u(10-u)$:
     $$
     16(10-u) - 2u = u(10-u)
     $$
     $$
     160 - 16u - 2u = 10u - u^2
     $$
     $$
     160 - 18u = 10u - u^2
     $$
     $$
     u^2 - 28u + 160 = 0
     $$

- Giải phương trình bậc hai:
     $$
     u = \frac{28 \pm \sqrt{784 - 640}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{28 \pm 12}{2}
     $$
     $$
     u = 20 \quad \text{hoặc} \quad u = 8
     $$

- Nếu $u = 20$, thì $v = 10 - 20 = -10$ (loại vì $v > 0$).
   - Nếu $u = 8$, thì $v = 10 - 8 = 2$.

- Vậy $a^2 = 8$ và $b^2 = 2$.

5. Viết phương trình chính tắc của hypebol:
   $$
   \frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1
   $$

Do đó, phương án đúng là:
C. $\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{2} = 1$.

Câu 10.
Phương trình tiêu chuẩn của parabol có dạng $y^2 = 4ax$, trong đó tiêu điểm có tọa độ $(a, 0)$.

So sánh phương trình $y^2 = 4x$ với phương trình tiêu chuẩn $y^2 = 4ax$, ta thấy rằng $4a = 4$. Do đó, $a = 1$.

Tọa độ tiêu điểm của parabol là $(a, 0) = (1, 0)$.

Vậy tọa độ tiêu điểm của parabol (P) là $F(1, 0)$.

Đáp án đúng là: B. $F(1, 0)$.

Câu 11.
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $ y^2 = 4ax $ hoặc $ x^2 = 4ay $.

Ta sẽ kiểm tra từng phương trình đã cho:

A. $ y^2 = 8x $
- Đây là phương trình có dạng $ y^2 = 4ax $ với $ 4a = 8 $. Do đó, $ a = 2 $. Vậy phương trình này là phương trình chính tắc của parabol.

B. $ y^2 = -4x $
- Đây là phương trình có dạng $ y^2 = 4ax $ với $ 4a = -4 $. Do đó, $ a = -1 $. Vậy phương trình này cũng là phương trình chính tắc của parabol.

C. $ y^2 = -x $
- Đây là phương trình có dạng $ y^2 = 4ax $ với $ 4a = -1 $. Do đó, $ a = -\frac{1}{4} $. Vậy phương trình này cũng là phương trình chính tắc của parabol.

D. $ y^2 = 4x^2 $
- Phương trình này không có dạng $ y^2 = 4ax $ hoặc $ x^2 = 4ay $. Do đó, phương trình này không phải là phương trình chính tắc của parabol.

Như vậy, trong các phương trình đã cho, phương trình nào là phương trình chính tắc của parabol?

Đáp án: A, B, C.

Câu 12.
Phương trình chính tắc của parabol có dạng $ y^2 = 2px $.

Tiêu điểm của parabol $ y^2 = 2px $ là $ F\left(\frac{p}{2}, 0\right) $.

Theo đề bài, tiêu điểm của parabol là $ F(4, 0) $. Do đó, ta có:
$$ \frac{p}{2} = 4 $$

Giải phương trình này để tìm $ p $:
$$ p = 4 \times 2 = 8 $$

Thay $ p = 8 $ vào phương trình chính tắc của parabol:
$$ y^2 = 2 \times 8 \times x $$
$$ y^2 = 16x $$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là:
$$ y^2 = 16x $$

Đáp án đúng là: C. $ y^2 = 16x $