Bạnahhavabgahah Câu 86. (THPTQG 2019) Cho hàm số $f(x).$ Biết $f(0)=4$ và $f^\prime(x)=2\sin^2x+1,~\forall x\in\mathbb R,$ khi đó,$\int^{\frac\pi4}_0f(x)dx$ bằng,$A.~\frac{\pi^2+16\pi-4}{16}.$ $B.~\frac{\pi^2-4}{16}.$ $C.~\frac{\pi^2+15\pi}{16}.$ $D.~\frac{\pi^2+16\pi-16}{16}.$,Câu 87. Biết $\int^2_0\frac{dx}{3x-1}=\frac1a\ln b$ thì $a^2+b$ là : $3^2+1=10$,A. 12. B. 10. C. 2. D. 14.,Câu 88. Tích phân $\int^2_13^{x-1}dx$ bằng,A. 2. B. 2ln 3. $C.~\frac32.$ $D.~\frac2{\ln3}.$,Câu 89. Biết $I=\int^1_0\frac{2x+3}{2-x}dx=a\ln2+b,~(a,b\in\mathbb Q).$ Khi đó: $a+2b.$,A. 2. B. 3. C. 7. D. 0.,Câu 90. Tính tích phân $\int^1_0\frac1{2x+5}~dx.$

Question

Accepted Answer

Câu 86.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm hàm số $ f(x) $ từ đạo hàm $ f'(x) $.
2. Tính tích phân $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx $.

Bước 1: Tìm hàm số $ f(x) $

Biết rằng $ f'(x) = 2 \sin^2 x + 1 $.

Ta có:
$$ f'(x) = 2 \sin^2 x + 1 $$

Tích phân hai vế để tìm $ f(x) $:
$$ f(x) = \int (2 \sin^2 x + 1) \, dx $$

Chúng ta biết rằng $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $, do đó:
$$ 2 \sin^2 x = 2 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) = 1 - \cos 2x $$

Vậy:
$$ f(x) = \int (1 - \cos 2x + 1) \, dx = \int (2 - \cos 2x) \, dx $$
$$ f(x) = 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + C $$

Biết rằng $ f(0) = 4 $, ta thay vào để tìm hằng số $ C $:
$$ f(0) = 2(0) - \frac{1}{2} \sin (2 \cdot 0) + C = 4 $$
$$ 0 - 0 + C = 4 $$
$$ C = 4 $$

Do đó:
$$ f(x) = 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4 $$

Bước 2: Tính tích phân $ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx $

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left( 2x - \frac{1}{2} \sin 2x + 4 \right) \, dx $$

Chia thành các tích phân riêng:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \sin 2x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx $$

Tính từng tích phân:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left[ x^2 \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 - 0 = \frac{\pi^2}{16} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{4} \left[ \cos 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{4} \left( \cos \frac{\pi}{2} - \cos 0 \right) = -\frac{1}{4} (0 - 1) = \frac{1}{4} $$

$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 4 \left( \frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi $$

Gộp lại:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(x) \, dx = \frac{\pi^2}{16} + \frac{1}{4} + \pi = \frac{\pi^2}{16} + \frac{4}{16} + \frac{16\pi}{16} = \frac{\pi^2 + 16\pi + 4}{16} $$

Vậy đáp án đúng là:
D. $\frac{\pi^2 + 16\pi - 16}{16}$.

Câu 87.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính tích phân $\int^2_0\frac{dx}{3x-1}$

Bước 2: So sánh kết quả với $\frac{1}{a}\ln b$

Bước 3: Tìm giá trị của $a$ và $b$

Bước 4: Tính $a^2 + b$

Bước 1: Tính tích phân $\int^2_0\frac{dx}{3x-1}$

Ta có:
$$
\int^2_0\frac{dx}{3x-1}
$$

Đặt $u = 3x - 1$, suy ra $du = 3dx$ hoặc $dx = \frac{1}{3}du$.

Khi $x = 0$, ta có $u = -1$.

Khi $x = 2$, ta có $u = 5$.

Do đó, tích phân trở thành:
$$
\int^2_0\frac{dx}{3x-1} = \int^{5}_{-1}\frac{\frac{1}{3}du}{u} = \frac{1}{3}\int^{5}_{-1}\frac{du}{u}
$$

Tích phân $\int \frac{du}{u} = \ln |u| + C$, nên:
$$
\frac{1}{3}\int^{5}_{-1}\frac{du}{u} = \frac{1}{3}[\ln |u|]^{5}_{-1} = \frac{1}{3}(\ln 5 - \ln 1) = \frac{1}{3}\ln 5
$$

Bước 2: So sánh kết quả với $\frac{1}{a}\ln b$

Ta có:
$$
\frac{1}{3}\ln 5 = \frac{1}{a}\ln b
$$

So sánh hai vế, ta nhận thấy $a = 3$ và $b = 5$.

Bước 3: Tính $a^2 + b$

Ta có:
$$
a^2 + b = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14
$$

Vậy đáp án đúng là:
D. 14

Câu 88.
Để tính tích phân $\int^2_1 3^{x-1} dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm nguyên của $3^{x-1}$.
Ta biết rằng $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. Do đó, $\int 3^{x-1} dx = \frac{3^{x-1}}{\ln 3} + C$.

Bước 2: Áp dụng công thức tích phân xác định.
$\int^2_1 3^{x-1} dx = \left[ \frac{3^{x-1}}{\ln 3} \right]^2_1$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức.
= $\frac{3^{2-1}}{\ln 3} - \frac{3^{1-1}}{\ln 3}$
= $\frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^0}{\ln 3}$
= $\frac{3}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3}$
= $\frac{3 - 1}{\ln 3}$
= $\frac{2}{\ln 3}$

Vậy tích phân $\int^2_1 3^{x-1} dx$ bằng $\frac{2}{\ln 3}$.

Đáp án đúng là: D. $\frac{2}{\ln 3}$.

Câu 89.
Để tính tích phân $ I = \int_{0}^{1} \frac{2x + 3}{2 - x} \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tách phân thức trong tích phân:
$$ \frac{2x + 3}{2 - x} = \frac{-2(2 - x) + 7}{2 - x} = -2 + \frac{7}{2 - x} $$

Bước 2: Tính tích phân từng phần:
$$ I = \int_{0}^{1} \left( -2 + \frac{7}{2 - x} \right) \, dx $$
$$ I = \int_{0}^{1} (-2) \, dx + \int_{0}^{1} \frac{7}{2 - x} \, dx $$

Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ:
$$ \int_{0}^{1} (-2) \, dx = -2 \int_{0}^{1} 1 \, dx = -2 [x]_{0}^{1} = -2 (1 - 0) = -2 $$

$$ \int_{0}^{1} \frac{7}{2 - x} \, dx $$
Đặt $ u = 2 - x $, thì $ du = -dx $ và khi $ x = 0 $, $ u = 2 $; khi $ x = 1 $, $ u = 1 $:
$$ \int_{0}^{1} \frac{7}{2 - x} \, dx = -7 \int_{2}^{1} \frac{1}{u} \, du = 7 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \, du = 7 [\ln |u|]_{1}^{2} = 7 (\ln 2 - \ln 1) = 7 \ln 2 $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả:
$$ I = -2 + 7 \ln 2 $$

So sánh với $ I = a \ln 2 + b $, ta nhận thấy:
$$ a = 7 $$
$$ b = -2 $$

Bước 5: Tính $ a + 2b $:
$$ a + 2b = 7 + 2(-2) = 7 - 4 = 3 $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{3} $$

Câu 90.
Để tính tích phân $\int^1_0\frac1{2x+5}~dx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định hàm nguyên của $\frac{1}{2x+5}$.
- Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{2x+5}$ có dạng $\frac{1}{u}$ với $u = 2x + 5$. 
- Để tìm nguyên hàm của $\frac{1}{2x+5}$, ta sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Đặt $u = 2x + 5$, suy ra $du = 2dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2}du$.

Bước 2: Thay đổi cận của tích phân theo biến mới.
- Khi $x = 0$, ta có $u = 2(0) + 5 = 5$.
- Khi $x = 1$, ta có $u = 2(1) + 5 = 7$.

Bước 3: Tính tích phân theo biến mới.
- Tích phân ban đầu trở thành:
  $$
  \int^1_0 \frac{1}{2x+5}~dx = \int^7_5 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}~du = \frac{1}{2} \int^7_5 \frac{1}{u}~du.
  $$
- Nguyên hàm của $\frac{1}{u}$ là $\ln|u|$, do đó:
  $$
  \frac{1}{2} \int^7_5 \frac{1}{u}~du = \frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]^7_5 = \frac{1}{2} \left( \ln|7| - \ln|5| \right).
  $$

Bước 4: Kết luận.
- Giá trị của tích phân là:
  $$
  \frac{1}{2} \left( \ln 7 - \ln 5 \right) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{7}{5} \right).
  $$

Vậy, tích phân $\int^1_0 \frac{1}{2x+5}~dx$ có giá trị là $\frac{1}{2} \ln \left( \frac{7}{5} \right)$.