Tìm các số tự nhiên x, y và số nguyên tố p sao cho $$

Ta thấy $$ là số lẻ nên $$ cũng là số lẻ. Do đó, $$ phải là số lẻ và $$ phải là số tự nhiên dương (vì $$ là số nguyên tố). Ta sẽ xét trường hợp $$: $$ Ta thấy $$ là số lớn hơn 4, do đó $$ phải lớn hơn 4. Ta thử các giá trị $$ nhỏ để tìm $$: - Nếu $$: $$ Vậy $$ và $$, $$ là một nghiệm. - Nếu $$: $$ 20 không phải là số nguyên tố, nên không thỏa mãn. - Nếu $$: $$ 85 không phải là số nguyên tố, nên không thỏa mãn. - Nếu $$: $$ 260 không phải là số nguyên tố, nên không thỏa mãn. Với $$, ta thấy $$ sẽ lớn hơn 260 và khó kiểm tra trực tiếp, nhưng ta đã thấy rằng $$ là trường hợp duy nhất thỏa mãn. Bây giờ, ta xét trường hợp $$: $$ Ta thấy rằng $$ phải chia hết cho $$. Ta sẽ thử các giá trị $$ nhỏ để tìm $$: - Nếu $$: $$ Điều này chỉ đúng khi $$ và $$, ta đã tìm thấy nghiệm này ở trên. - Nếu $$: $$ 20 không phải là lũy thừa của một số nguyên tố, nên không thỏa mãn. - Nếu $$: $$ 85 không phải là lũy thừa của một số nguyên tố, nên không thỏa mãn. - Nếu $$: $$ 260 không phải là lũy thừa của một số nguyên tố, nên không thỏa mãn. Với $$, ta thấy $$ sẽ lớn hơn 260 và khó kiểm tra trực tiếp, nhưng ta đã thấy rằng $$ là trường hợp duy nhất thỏa mãn. Vậy nghiệm duy nhất là $$, $$ và $$. Đáp số: $$, $$, $$.