cho x,y,z là các số dương thoả mãn điều kiện x/y+z+y/x+z+z/x+y . tính giá trị của biểu thức A=(x^2/y+z+y^2/z+x+z^2/x+y0:(x+y+z)Giúp mình với!

Question

cho x,y,z  là các số dương thoả mãn điều kiện x/y+z+y/x+z+z/x+y . tính giá trị của biểu thức A=(x^2/y+z+y^2/z+x+z^2/x+y0:(x+y+z)Giúp mình với!

Accepted Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ A = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} $ chia cho $ x + y + z $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Các biến $ x, y, z $ là các số dương, do đó $ y + z > 0 $, $ z + x > 0 $, và $ x + y > 0 $.

Bước 2: Xét biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} $$

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $ A $ với $ x + y + z $:
$$ A = \left( \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \right) \div (x + y + z) $$
$$ A = \frac{\frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y}}{x + y + z} $$

Bước 4: Nhân cả tử và mẫu của biểu thức $ A $ với $ x + y + z $:
$$ A = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) + \left( \frac{x^2(y+x)}{y+z} + \frac{y^2(z+y)}{z+x} + \frac{z^2(x+z)}{x+y} \right)}{(x + y + z)^2} $$

Bước 5: Ta nhận thấy rằng:
$$ \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Bước 6: Do đó:
$$ A = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Bước 7: Kết luận:
$$ A = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là:
$$ A = \frac{x^2}{y+z} + \frac{y^2}{z+x} + \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} $$

Đáp số: $ A \geq \frac{x+y+z}{2} $