Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC có $\widehat A=70^0,~AB

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho tam giác ABC có $\widehat A=70^0,~AB<AC,$ đường phân giác A cắt BC tại,$D,~BF\bot AC$ tại F, E thuộc AC sao cho $AE=AB.$ Xác định trực tâm,của tam giác ABE và tính $\widehat{DHF}.$

Accepted Answer

+)

Gọi $H $ là giao điểm của $AD $ và $BF $.

- Gọi $I$ là giao điểm của $AD $ và $BE $.

Xét $ riangle \mathrm{ABI}$ và $ riangle \mathrm{AEI}$, có:
$AI $ là cạnh chung,
$\mathrm{AB}=\mathrm{AE}$ (giả thiết),
$\widehat{\mathrm{BAI}}=\widehat{\mathrm{EAI}}$ (do AI là đường phân giác của $ riangle \mathrm{ABE}$ ).
Do đó $ riangle \mathrm{ABI}=\Delta \mathrm{AEI}$ (c.g.c).
Suy ra $\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{AIE}}$ (cặp góc tương ứng).
Mà $\widehat{\mathrm{AIB}}+\widehat{\mathrm{AIE}}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù).
Vì vậy $\widehat{\mathrm{AIB}}=\widehat{\mathrm{AIE}}=180^{\circ}: 2=90^{\circ}$.
Do đó $\mathrm{AI} \perp \mathrm{BE}$. Suy ra AI là đường cao của $ riangle \mathrm{ABE}$.
Mà $H$ là giao điểm của hai đường cao $A D$ và $B F$ nên $H$ là trực tâm của $ riangle \mathrm{ABE}$.

+)

- Vì AI là đường phân giác của $ riangle \mathrm{ABE}$ nên $\widehat{\mathrm{FAH}}=\frac{\widehat{\mathrm{BAC}}}{2}=\frac{70^{\circ}}{2}=35^{\circ}$.
$\Delta \mathrm{AHF}$ vuông tại $\mathrm{F}: \widehat{\mathrm{FAH}}+\widehat{\mathrm{AHF}}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)
Suy ra $\widehat{\mathrm{AHF}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{FAH}}=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$.
Vì $H $ thuộc $AI $ nên ba điểm $\mathrm{A}, \mathrm{H}, \mathrm{I}$ thẳng hàng.
Suy ra $\widehat{\mathrm{AHF}}+\widehat{\mathrm{FHD}}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)
Do đó $\widehat{\mathrm{FHD}}=180^{\circ}-\widehat{\mathrm{AHF}}=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$.