Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt AB tại H, vẽ đường kính AD.
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
b) Chứng minh MA^2 = MH*MO
c) Nối MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C. Chứng minh tam giác MCB đồng dạng tam giác ACB

Question

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt AB tại H, vẽ đường kính AD. 
a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp
 b) Chứng minh MA^2 = MH*MO 
c) Nối MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là C. Chứng minh tam giác MCB đồng dạng tam giác ACB

Accepted Answer

a) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) \ cắt nhau tại M

Nên $\displaystyle MA\ \bot \ OA,\ MB\ \bot \ OB,\ MA\ =\ MB$

$\displaystyle \Longrightarrow \ \widehat{OAM} \ =\ \widehat{OBM} \ =\ 90^{0}$

Xét tứ giác AMBO có

$\displaystyle \widehat{OAM} +\widehat{OBM} =90^{0} +90^{0} =180^{0}$

Suy ra tứ giác AMBO nội tiếp

Vậy tứ giác AMBO nội tiếp .

b) Xét (O) có $\displaystyle \widehat{CBM}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BC

$\displaystyle \widehat{BDM}$ là góc nội tiếp chắn cung BC

Suy ra $\displaystyle \widehat{CBM} =\widehat{MDB}$

Xét tam giác MBC và tam giác MDB có

$\displaystyle \widehat{CBM} =\widehat{MDB}$

$\displaystyle \widehat{BMD}$ là góc chung

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \ \frac{MB}{MD} \ =\ \frac{MC}{MB}\
\Longrightarrow \ MC.MD\ =\ MB^{2}
\end{array}$

Mà $\displaystyle MB\ =\ MA$

$\displaystyle \Longrightarrow \ MA^{2} \ =\ MC.MD$ (1)

Vì MA = MB nên M thuộc trung trực của AB

Vì OA = OB nên O thuộc trung trực của AB

Suy ra MO là trung trực của AB

Do đó $\displaystyle MO\ \bot \ AB$

Xét tam giác MAO vuông tại A có $\displaystyle MO\ \bot \ AH$

Suy ra $\displaystyle MH\ .\ MO\ =\ MA^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông) \ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\displaystyle MC\ .\ MD\ =\ MH\ .\ MO$

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OM cắt AB tại H, vẽ đường kính AD. a) Chứng minh tứ giác MA...