Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O). Các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH a) Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp b) Chứng mi...

a) Ta có: - $$ (vì BD là đường cao hạ từ B) - $$ (vì CE là đường cao hạ từ C) Do đó, cả hai góc $$ và $$ đều bằng $$, tức là chúng là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Do đó, tứ giác BCDE nội tiếp được chứng minh. b) Ta cần chứng minh $$. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp và các trung điểm. - Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. - Vì N là trung điểm của AH, nên AN = NH. Ta xét tam giác AHD và tam giác BHC: - $$ (vì BD và CE là đường cao) - $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Do đó, tam giác AHD và tam giác BHC đồng dạng theo trường hợp góc - góc (góc vuông và góc nội tiếp cùng chắn cung AC). Từ đây, ta có: - $$ Vì N là trung điểm của AH và M là trung điểm của BC, nên ta có: - $$ - $$ Do đó, tam giác AND và tam giác MND đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (cạnh AN = NH, góc AND = góc MND và cạnh ND chung). Từ đây, ta có: - $$ Vậy ta đã chứng minh được $$.