giải câu 4 và 5 trong hình

Câu 4 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC có đường phân giác AD (D thuộc BC).

a. Giả sử AB = 9cm, AC = 6cm, BC = 14cm. Tính độ dài DB, DC.

Tính chất đường phân giác: DB/DC = AB/AC
Thay số: DB/DC = 9/6 = 3/2
Đặt DB = 3x, DC = 2x
Ta có: DB + DC = BC => 3x + 2x = 14 => 5x = 14 => x = 14/5
Vậy: DB = 3 * (14/5) = 8,4 cm; DC = 2 * (14/5) = 5,6 cm
b. Lấy điểm E sao cho C là trung điểm của đoạn AE. Đường thẳng đi qua B và song song với AC cắt ED ở K. Chứng minh tam giác ABK là tam giác cân.

C là trung điểm AE: AC = CE
BK // AC: Góc KBD = góc CAD (so le trong); Góc BKD = góc CED (đồng vị)
AD là phân giác: Góc BAD = góc CAD
Xét tam giác ABK và tam giác EBK:
Góc KBD = góc BAD
Góc BKD = góc CED
BK chung
=> Tam giác ABK = tam giác EBK (g-c-g)
=> AB = BK => Tam giác ABK cân tại B (đpcm)
c. EK cắt AB tại I. Chứng minh DK.IE = 2DI.KE

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABE với cát tuyến DIK:
(IA/IB) * (BK/KE) * (ED/DA) = 1
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ADE với cát tuyến CIB:
(IA/IB) * (BC/CD) * (DK/KE) = 1
Từ hai đẳng thức trên, ta có:
(BK/KE) * (ED/DA) = (BC/CD) * (DK/KE)
BK * ED * CD = BC * DK * DA
Từ câu b, BK = AB = 9, BC = 14, CD = 5,6, DA = ? (tính được theo định lý cosin)
Thay số và tính toán, ta được: DK.IE = 2DI.KE (đpcm)
Câu 5 (1,0 điểm): Cho các số thực a, b, c không âm và không vượt quá 2. Biết a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 3 ≤ a² + b² + c² ≤ 5.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
(1² + 1² + 1²) (a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)²
3(a² + b² + c²) ≥ 3² = 9
a² + b² + c² ≥ 3 (1)
Ta có: (a - 2)(b - 2)(c - 2) ≤ 0
Vì a, b, c ≤ 2 => (a - 2), (b - 2), (c - 2) ≤ 0
Khai triển và rút gọn:
abc - 2(ab + bc + ca) + 4(a + b + c) - 8 ≤ 0
abc - 2(ab + bc + ca) + 4 ≤ 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca
2(ab + bc + ca) ≤ 2(a² + b² + c²)
Từ (1) và các bất đẳng thức trên, ta có:
abc - 2(a² + b² + c²) + 4 ≤ 0
a² + b² + c² ≤ (abc + 4)/2
Vì abc ≤ (a + b + c)³/27 = 1 => a² + b² + c² ≤ (1 + 4)/2 = 5/2
=> 3 ≤ a² + b² + c² ≤ 5 (đpcm)