giúp mình với! Câu 7. Cho biết chu kì bán hủy của chất phỏng xạ,plutônium $Pu^{239}$ là 24.360 năm (tức là lượng,$Pu^{239}$ sau 24360 năm phân hủy thì chi còn,lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công,thức $S=Ae^{rt},$ trong đó A là lượng chất,phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng,năm $(r0.$,Mệnh đề nào dưới đây đúng?,$A.~P=x^{\frac23}.$ B.,$P=x^{\frac52}.$,$C.~P=x^{\frac32}.$ D.,$P=x^{\frac25}.$,Câu 9. Viết biểu thức $P=\frac{a^2a^{\frac52}\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}},~a0$,dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.,$A.~P=a^5$ B.,$P=a^{\frac{14}3}.$

Question

giúp mình với! Câu 7. Cho biết chu kì bán hủy của chất phỏng xạ,plutônium $Pu^{239}$ là 24.360 năm (tức là lượng,$Pu^{239}$ sau 24360 năm phân hủy thì chi còn,lại một nửa). Sự phân hủy được tính bởi công,thức $S=Ae^{rt},$ trong đó A là lượng chất,phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng,năm $(r<0),t$ là thời gian phân huỷ, S là,lượng còn lại sau thời gian phân hủy t. Hỏi,10 gam $Pu^{239}$ sau bao nhiêu năm phân hủy,sẽ còn 1 gam?,A. 48720 . B.,10000.,C. 82333. D.,82235.,Câu 8. Cho biểu thức $P=\sqrt x.\sqrt[3]x.\sqrt[6]{x^4},~x>0.$,Mệnh đề nào dưới đây đúng?,$A.~P=x^{\frac23}.$ B.,$P=x^{\frac52}.$,$C.~P=x^{\frac32}.$ D.,$P=x^{\frac25}.$,Câu 9. Viết biểu thức $P=\frac{a^2a^{\frac52}\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}},~a>0$,dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.,$A.~P=a^5$ B.,$P=a^{\frac{14}3}.$

Accepted Answer

Câu 7.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức phân hủy $S = Ae^{rt}$ và biết rằng sau mỗi chu kỳ bán hủy, lượng chất phóng xạ giảm đi một nửa.

Bước 1: Xác định các thông số đã biết:
- Lượng chất phóng xạ ban đầu $A = 10$ gam.
- Sau 24360 năm, lượng chất phóng xạ còn lại là $\frac{10}{2} = 5$ gam.
- Thời gian phân hủy $t = 24360$ năm.
- Lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian phân hủy $S = 5$ gam.

Bước 2: Thay các giá trị vào công thức phân hủy để tìm tỉ lệ phân hủy hàng năm $r$:
$$ 5 = 10e^{r \cdot 24360} $$
$$ \frac{1}{2} = e^{r \cdot 24360} $$

Bước 3: Lấy logarit tự nhiên hai vế:
$$ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{r \cdot 24360}) $$
$$ \ln\left(\frac{1}{2}\right) = r \cdot 24360 $$
$$ -\ln(2) = r \cdot 24360 $$
$$ r = \frac{-\ln(2)}{24360} $$

Bước 4: Tính giá trị của $r$:
$$ r \approx \frac{-0.6931}{24360} \approx -0.00002845 $$

Bước 5: Tìm thời gian phân hủy để lượng chất phóng xạ còn lại là 1 gam:
$$ 1 = 10e^{r \cdot t} $$
$$ \frac{1}{10} = e^{r \cdot t} $$
$$ \ln\left(\frac{1}{10}\right) = \ln(e^{r \cdot t}) $$
$$ \ln\left(\frac{1}{10}\right) = r \cdot t $$
$$ -\ln(10) = r \cdot t $$
$$ t = \frac{-\ln(10)}{r} $$

Bước 6: Thay giá trị của $r$ vào để tính $t$:
$$ t = \frac{-\ln(10)}{-0.00002845} $$
$$ t \approx \frac{-2.3026}{-0.00002845} $$
$$ t \approx 80967 \text{ năm} $$

Do đó, 10 gam $Pu^{239}$ sau khoảng 80967 năm sẽ còn lại 1 gam.

Đáp án gần đúng nhất trong các lựa chọn là C. 82333 năm.

Câu 8.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Biểu thức $P=\sqrt{x}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x^4}$ có điều kiện xác định là $x > 0$.

Bước 2: Viết lại các căn thức dưới dạng lũy thừa
- $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$
- $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
- $\sqrt[6]{x^4} = x^{\frac{4}{6}} = x^{\frac{2}{3}}$

Bước 3: Nhân các lũy thừa lại với nhau
- $P = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

Bước 4: Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở
- $P = x^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right)}$

Bước 5: Tính tổng các số mũ
- $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Bước 6: Kết luận
- $P = x^{\frac{3}{2}}$

Vậy mệnh đề đúng là:
C. $P = x^{\frac{3}{2}}$.

Câu 9.
Để viết biểu thức $ P = \frac{a^2 a^{\frac{5}{2}} \sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}}, ~ a > 0 $ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển căn thức và phân số về dạng lũy thừa:
$$
\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}
$$
$$
\sqrt[6]{a^7} = a^{\frac{7}{6}}
$$

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$
P = \frac{a^2 \cdot a^{\frac{5}{2}} \cdot a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{7}{6}}}
$$

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa cùng cơ sở:
$$
P = a^{2 + \frac{5}{2} + \frac{4}{3} - \frac{7}{6}}
$$

Bước 4: Tính tổng và hiệu các số mũ:
$$
2 = \frac{12}{6}
$$
$$
\frac{5}{2} = \frac{15}{6}
$$
$$
\frac{4}{3} = \frac{8}{6}
$$
$$
2 + \frac{5}{2} + \frac{4}{3} - \frac{7}{6} = \frac{12}{6} + \frac{15}{6} + \frac{8}{6} - \frac{7}{6} = \frac{12 + 15 + 8 - 7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}
$$

Vậy biểu thức $ P $ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
$$
P = a^{\frac{14}{3}}
$$

Đáp án đúng là: B. $ P = a^{\frac{14}{3}} $.