giúp mình với! Câu 9. Viết biểu thức $P=\frac{a^2a^{\frac52}\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}},~a0$,dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.,$A.~P=a^5$ B.,$P=a^{\frac{14}3}.$,$C.~P=a^4.$ D.,$P=a^{\frac{13}3}.$,Câu 10. Với a là số dương tùy ý khác 1, $\log_a\sqrt a$,bằng,$A.~\frac12.$,B. 2a..,C. 2.,$D.~\frac12a.$,Câu 11. Cho $\log_ab=2$ và $\log_ac=3$ Tính,$P=\log_ab^2c^3.$,$A.~P=13$ B.,$P=31$,$C.~P=30$ D.,$P=108$,Câu 12. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương,$7^{x+1}=(\frac17)^{x^2-2x-3}$,trình Khi đó $x^2_1+x^2_2$ bằng:,A. 17 . B. 5 . C. 3. D. 1.

Question

giúp mình với! Câu 9. Viết biểu thức $P=\frac{a^2a^{\frac52}\sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}},~a>0$,dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ.,$A.~P=a^5$ B.,$P=a^{\frac{14}3}.$,$C.~P=a^4.$ D.,$P=a^{\frac{13}3}.$,Câu 10. Với a là số dương tùy ý khác 1, $\log_a\sqrt a$,bằng,$A.~\frac12.$,B. 2a..,C. 2.,$D.~\frac12a.$,Câu 11. Cho $\log_ab=2$ và $\log_ac=3$ Tính,$P=\log_ab^2c^3.$,$A.~P=13$ B.,$P=31$,$C.~P=30$ D.,$P=108$,Câu 12. Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương,$7^{x+1}=(\frac17)^{x^2-2x-3}$,trình Khi đó $x^2_1+x^2_2$ bằng:,A. 17 . B. 5 . C. 3. D. 1.

Accepted Answer

Câu 9.
Để viết biểu thức $ P = \frac{a^2 a^{\frac{5}{2}} \sqrt[3]{a^4}}{\sqrt[6]{a^7}},~a > 0 $ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển căn thức và phân số về dạng lũy thừa:
$$
\sqrt[3]{a^4} = a^{\frac{4}{3}}
$$
$$
\sqrt[6]{a^7} = a^{\frac{7}{6}}
$$

Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$
P = \frac{a^2 \cdot a^{\frac{5}{2}} \cdot a^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{7}{6}}}
$$

Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa cùng cơ sở:
$$
P = a^{2 + \frac{5}{2} + \frac{4}{3} - \frac{7}{6}}
$$

Bước 4: Tính tổng và hiệu các số mũ:
$$
2 = \frac{12}{6}
$$
$$
\frac{5}{2} = \frac{15}{6}
$$
$$
\frac{4}{3} = \frac{8}{6}
$$
$$
2 + \frac{5}{2} + \frac{4}{3} - \frac{7}{6} = \frac{12}{6} + \frac{15}{6} + \frac{8}{6} - \frac{7}{6} = \frac{12 + 15 + 8 - 7}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}
$$

Vậy biểu thức $ P $ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là:
$$
P = a^{\frac{14}{3}}
$$

Đáp án đúng là: B. $ P = a^{\frac{14}{3}} $.

Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit.

Ta có:
$$ \log_a \sqrt{a} $$

Áp dụng công thức logarit của căn bậc hai:
$$ \log_a \sqrt{a} = \log_a (a^{1/2}) $$

Sử dụng tính chất logarit $\log_b (x^y) = y \cdot \log_b x$:
$$ \log_a (a^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log_a a $$

Biết rằng $\log_a a = 1$ (vì logarit cơ số a của a luôn bằng 1):
$$ \frac{1}{2} \cdot \log_a a = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$

Vậy:
$$ \log_a \sqrt{a} = \frac{1}{2} $$

Đáp án đúng là:
A. $\frac{1}{2}$.

Câu 11.
Để tính giá trị của biểu thức $ P = \log_a(b^2c^3) $, ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit.

Trước tiên, ta biết rằng:
$$ \log_a(b^2c^3) = \log_a(b^2) + \log_a(c^3) $$

Áp dụng tính chất lôgarit $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$, ta có:
$$ \log_a(b^2) = 2 \cdot \log_a(b) $$
$$ \log_a(c^3) = 3 \cdot \log_a(c) $$

Thay vào biểu thức ban đầu, ta được:
$$ P = 2 \cdot \log_a(b) + 3 \cdot \log_a(c) $$

Theo đề bài, ta có:
$$ \log_a(b) = 2 $$
$$ \log_a(c) = 3 $$

Thay các giá trị này vào biểu thức, ta có:
$$ P = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 $$
$$ P = 4 + 9 $$
$$ P = 13 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$ \boxed{13} $$

Câu 12.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình đã cho là:
$$ 7^{x+1} = \left(\frac{1}{7}\right)^{x^2 - 2x - 3} $$

Bước 2: Chuyển đổi phương trình về cùng cơ số
Ta nhận thấy rằng $\left(\frac{1}{7}\right)$ có thể viết lại dưới dạng $7^{-1}$. Do đó, phương trình trở thành:
$$ 7^{x+1} = 7^{-(x^2 - 2x - 3)} $$

Bước 3: So sánh các mũ
Vì hai vế có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ:
$$ x + 1 = -(x^2 - 2x - 3) $$
$$ x + 1 = -x^2 + 2x + 3 $$

Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để lập phương trình bậc hai
$$ x + 1 + x^2 - 2x - 3 = 0 $$
$$ x^2 - x - 2 = 0 $$

Bước 5: Giải phương trình bậc hai
Phương trình $x^2 - x - 2 = 0$ có thể được giải bằng phương pháp phân tích:
$$ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0 $$

Do đó, các nghiệm của phương trình là:
$$ x_1 = 2 \quad \text{và} \quad x_2 = -1 $$

Bước 6: Tính $x_1^2 + x_2^2$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5 $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{5} $$