giải bài toán

Bài 7.35: a) Tìm các giao điểm $$ của (E) với trục hoành và các giao điểm $$ của (E) với trục tung. Tính $$ - Giao điểm của elip với trục hoành: $$ $$ Vậy các giao điểm là $$ và $$. $$ - Giao điểm của elip với trục tung: $$ $$ Vậy các giao điểm là $$ và $$. $$ b) Xét một điểm bất kỳ $$ thuộc (E). Chứng minh rằng, $$ và $$ - Vì $$ thuộc elip, ta có: $$ Nhân cả hai vế với $$, ta được: $$ Ta cần chứng minh $$: $$ Do $$, ta có: $$ Mặt khác: $$ Do $$, ta có: $$ Vậy: $$ Từ đó suy ra: $$ Bài 7.36: a) Tìm các giao điểm $$ của hypebol với trục hoành (hoành độ của $$ nhỏ hơn của $$. - Giao điểm của hypebol với trục hoành: $$ $$ Vậy các giao điểm là $$ và $$. b) Chứng minh rằng, nếu điểm $$ thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì $$, nếu điểm $$ thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì $$. - Nếu $$ thuộc nhánh bên trái trục tung, ta có: $$ Vì $$ thuộc nhánh bên trái, nên $$. - Nếu $$ thuộc nhánh bên phải trục tung, ta có: $$ Vì $$ thuộc nhánh bên phải, nên $$. c) Tìm các điểm $$ tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để $$ nhỏ nhất. - Điểm $$ thuộc nhánh bên trái và điểm $$ thuộc nhánh bên phải, ta có: $$ Vì khoảng cách nhỏ nhất giữa hai nhánh của hypebol là $$. Bài 7.37: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). - Phương trình hypebol: $$ Tại điểm chính giữa (y = 0): $$ Tại đỉnh và đáy (y = ±3): $$ Tại đỉnh và đáy (x = ±0,5): $$ Phương trình hypebol: $$ Tại y = 1 (độ cao 5 m): $$ Độ rộng của cột ở độ cao 5 m: $$ Đáp số: 0,82 m