Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Tính $\int^*\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$

Question

Accepted Answer

Để tính $\int^\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số.

Bước 1: Xác định phương pháp giải.
- Ta nhận thấy rằng tích phân có dạng $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, đây là dạng tích phân liên quan đến hàm arcsin.

Bước 2: Đổi biến số.
- Chúng ta đặt $x = \sin t$. Khi đó $dx = \cos t \, dt$.

Bước 3: Thay đổi cận tích phân.
- Khi $x = -1$, ta có $\sin t = -1 \Rightarrow t = -\frac{\pi}{2}$.
- Khi $x = 1$, ta có $\sin t = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi}{2}$.

Bước 4: Thay vào biểu thức tích phân.
- Biểu thức $\sqrt{1-x^2}$ trở thành $\sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{\cos^2 t} = |\cos t| = \cos t$ (vì $t$ nằm trong khoảng $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$).

Do đó, tích phân trở thành:
$$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos t \, dt}{\cos t} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} dt = t \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi. $$

Vậy, $\int^\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi$.

Đáp số: $\pi$.