giupppppppp 2. Cho (O;R) và điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kỏ một đường thẳng d vuông góc với OH,. Từ điểm M nằm trên đường thẳng d , kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O)(A,B là tiếp điểm). Gọi I , K lần,lượt là giao điểm của AB với OM,OH.,a) Chứng minh: 5 điểm M,H,O,A,B cùng thuộc một dường tròn. Từ đó chứng minh $\widehat{AHO}=\widehat{BAO}$,b) Chứng minh: OM vuông góc với AB và $OHOK=R^2.$,c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với OM cắt MA,MB lần lượt tại P,Q.,Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất?

Question

Accepted Answer

Câu 2:

\begin{equation}
\begin{aligned}
& ext { a)Vì } M A, M B ext { là tiếp tuyến của }(O) \
& ightarrow M O \perp A B, M A \perp O A, M B \perp O B \
& ightarrow \widehat{M A O}=\widehat{M B O}=90^{\circ}
\end{aligned}
\end{equation}

Theo giả thiết,$d$ vuông góc với $O H$ tại $H$, nên $\angle O H M=90^{\circ}$.
Suy ra $H$ nằm trên đường tròn đường kính $O M$.

\begin{equation}
ightarrow M, H, A, O, B \in ext { đường tròn đường kính } M O
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{aligned}
&\widehat{A H O}=\widehat{A M O}=\widehat{B A O}\
&\widehat{A H O}=\widehat{B A O}
\end{aligned}
\end{equation}

b) Từ a $ ightarrow O M \perp A B$
$ ightarrow riangle M A O$ vuông tại $A, A I \perp M O$

$ightarrow O I . O M=O A^2=R^2$
Xét $ riangle O I K, riangle O H M$ có:
Chung $\hat{O}$

$$
\begin{aligned}
& \widehat{O I K}=\widehat{O H M}\left(=90^{\circ} ight) \
& ightarrow \Delta O I K \sim \Delta O H M(g . g) \
& ightarrow \frac{O I}{O H}=\frac{O M}{O K} \
& ightarrow O K . O H=O I . O M=R^2
\end{aligned}
$$
c) Vì $M A, M B$ là tiếp tuyến của $(O)$
$ ightarrow M O$ là phân giác $\widehat{A M B}$
$ ightarrow M O$ là phân giác $\widehat{P M Q}$
Mà $M O \perp P Q$
$ ightarrow riangle M P Q$ cân tại $M$

$ightarrow S_{M P Q}=2 S_{M O P}=M O \cdot M P$
Mà $ riangle M O P$ vuông tại $O, O A \perp M P$

$$
\begin{aligned}
& ightarrow \frac{1}{R^2}=\frac{1}{O A^2}=\frac{1}{O M^2}+\frac{1}{O P^2} \geq \frac{2}{O M . O P} \
& ightarrow O M \cdot O P \geq 2 R^2 \
& ightarrow O M \cdot O P \geq 2 R^2 \
& ightarrow S_{M P Q} \geq 2 R^2
\end{aligned}
$$

Dấu = xảy ra khi $O M=O P=R \sqrt{2}$

$ightarrow O M=O P=R \sqrt{2}$