Câu 1:
Để tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng và trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng.
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Giả sử mặt phẳng có phương trình , thì vectơ pháp tuyến của nó là .
Bước 2: Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến.
Cosin của góc giữa hai vectơ và được tính theo công thức:
Trong đó:
- là tích vô hướng của hai vectơ.
- và là độ dài của hai vectơ.
Bước 3: Áp dụng công thức vào các vectơ đã biết.
Tích vô hướng :
Độ dài của :
Độ dài của :
Do đó, cosin của góc giữa hai mặt phẳng là:
Kết luận: Cosin của góc giữa hai mặt phẳng và là:
Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về các biến , , và hoặc các ràng buộc khác. Tuy nhiên, dựa trên phương trình , ta có thể suy ra rằng .
Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem liệu có thể tìm ra giá trị nào phù hợp với điều kiện .
A.
B.
C.
D.
Trước tiên, hãy xem xét các giá trị này có thể là giá trị của , , hoặc không. Chúng ta cần kiểm tra xem liệu có thể có các giá trị , , và sao cho tổng của chúng bằng 1.
Giả sử , , và . Ta có:
Do đó, các giá trị này không thỏa mãn điều kiện .
Tiếp theo, giả sử , , và . Ta có:
Do đó, các giá trị này cũng không thỏa mãn điều kiện .
Cuối cùng, giả sử , , và . Ta có:
Do đó, các giá trị này cũng không thỏa mãn điều kiện .
Từ các phép tính trên, ta thấy rằng không có giá trị nào trong các đáp án A, B, C, D thỏa mãn điều kiện . Do đó, cần có thêm thông tin hoặc ràng buộc khác để giải quyết bài toán này.
Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho.
Câu 2:
Để tìm cos của góc giữa hai mặt phẳng, ta cần tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là vì nó vuông góc với trục Oy.
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Ta tính cos của góc giữa hai vectơ pháp tuyến này:
cos(P) =
cos(P) =
Vậy đáp án đúng là B. .
Câu 3:
Để tìm góc giữa trục Oz và đường thẳng , ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ chỉ phương của trục Oz.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
Vectơ chỉ phương của trục Oz là .
Góc giữa hai vectơ và được tính bằng công thức:
Tính tích vô hướng :
Tính độ dài của vectơ :
Tính độ dài của vectơ :
Thay vào công thức:
Tìm góc :
Sử dụng máy tính để tìm giá trị của :
Làm tròn đến độ gần đúng nhất:
Vậy góc giữa trục Oz và đường thẳng là . Đáp án đúng là D. .
Câu 4:
Để tìm góc giữa đường thẳng chứa Ox và mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
Mặt phẳng có phương trình . Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là .
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa Ox:
Đường thẳng chứa Ox có vectơ chỉ phương là .
3. Tính góc giữa vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Gọi là góc giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương . Ta có:
Tính tích vô hướng :
Tính độ dài của các vectơ:
Vậy:
4. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là:
Do đó:
Vậy góc giữa đường thẳng chứa Ox và mặt phẳng là . Đáp án đúng là A. .
Câu 5:
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng và , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
5. Tìm góc :
6. Kết quả làm tròn đến độ:
Vậy góc giữa hai mặt phẳng và là . Đáp án đúng là B. .
Câu 6:
Để tính cos của góc giữa hai đường thẳng, ta cần tìm vector chỉ phương của mỗi đường thẳng và sau đó sử dụng công thức cos của góc giữa hai vector.
1. Tìm vector chỉ phương của mỗi đường thẳng:
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vector chỉ phương của là .
- Đường thẳng có phương trình tham số:
Vector chỉ phương của là .
2. Tính cos của góc giữa hai vector và :
- Tích vô hướng của hai vector:
- Độ dài của :
- Độ dài của :
- Cos của góc giữa hai vector:
Vậy đáp án đúng là D. (vì cos của góc là giá trị tuyệt đối của kết quả trên).
Đáp án: D. .
Câu 7:
Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng :
Đường thẳng có phương trình tham số:
Từ đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
Mặt phẳng có phương trình:
Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là .
3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta có công thức:
- Tính tích vô hướng :
- Tính độ dài của :
- Tính độ dài của :
- Tính :
- Tính :
- Kết quả làm tròn đến độ:
Vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là . Đáp án đúng là D.