Giúp mình với! Cho $S=\frac1{7^2}+\frac2{7^3}+\frac3{7^4}+...+\frac{69}{7^{70}}$ .Chứng tỏ $S

Question

Giúp mình với! Cho $S=\frac1{7^2}+\frac2{7^3}+\frac3{7^4}+...+\frac{69}{7^{70}}$ .Chứng tỏ $S<\frac1{36}$

Accepted Answer

Ta có:
$$ S = \frac{1}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \frac{3}{7^4} + ... + \frac{69}{7^{70}} $$

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{7}$, ta được:
$$ \frac{S}{7} = \frac{1}{7^3} + \frac{2}{7^4} + \frac{3}{7^5} + ... + \frac{69}{7^{71}} $$

Lấy $S$ trừ đi $\frac{S}{7}$, ta có:
$$ S - \frac{S}{7} = \left( \frac{1}{7^2} + \frac{2}{7^3} + \frac{3}{7^4} + ... + \frac{69}{7^{70}} \right) - \left( \frac{1}{7^3} + \frac{2}{7^4} + \frac{3}{7^5} + ... + \frac{69}{7^{71}} \right) $$

Phân tích và nhóm các hạng tử, ta nhận thấy:
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{1}{7^2} + \left( \frac{2}{7^3} - \frac{1}{7^3} \right) + \left( \frac{3}{7^4} - \frac{2}{7^4} \right) + ... + \left( \frac{69}{7^{70}} - \frac{68}{7^{70}} \right) - \frac{69}{7^{71}} $$

Đơn giản hóa biểu thức trên, ta có:
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{1}{7^2} + \frac{1}{7^3} + \frac{1}{7^4} + ... + \frac{1}{7^{70}} - \frac{69}{7^{71}} $$

Nhận thấy đây là một dãy số công bội, ta có thể viết lại dưới dạng:
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{\frac{1}{7^2} \left( 1 - \left( \frac{1}{7} \right)^{69} \right)}{1 - \frac{1}{7}} - \frac{69}{7^{71}} $$

Tính toán tiếp:
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{\frac{1}{7^2} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right)}{\frac{6}{7}} - \frac{69}{7^{71}} $$
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{1}{7^2} \cdot \frac{7}{6} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right) - \frac{69}{7^{71}} $$
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{1}{6 \cdot 7} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right) - \frac{69}{7^{71}} $$
$$ S - \frac{S}{7} = \frac{1}{42} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right) - \frac{69}{7^{71}} $$

Nhân cả hai vế với 7, ta có:
$$ 7S - S = \frac{7}{42} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right) - \frac{69 \cdot 7}{7^{71}} $$
$$ 6S = \frac{1}{6} \left( 1 - \frac{1}{7^{69}} \right) - \frac{69}{7^{70}} $$

Do $\frac{1}{7^{69}}$ và $\frac{69}{7^{70}}$ đều rất nhỏ, ta có thể bỏ qua chúng để ước lượng:
$$ 6S < \frac{1}{6} $$

Do đó:
$$ S < \frac{1}{36} $$

Vậy ta đã chứng minh được $S < \frac{1}{36}$.