help me giải giúp mình Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2},$ có đồ thị $(C_m)$ (với m là tham số thực) . Khi đó:,a) Đồ thị $(C_m)$ luôn có hai điểm cực trị.,b) Khi $m=5$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty).$,c) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb R.$,d) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị khi $m6.$

Question

help me giải giúp mình Câu 2. Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2},$ có đồ thị $(C_m)$ (với m là tham số thực) . Khi đó:,a) Đồ thị $(C_m)$ luôn có hai điểm cực trị.,b) Khi $m=5$ thì hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty).$,c) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb R.$,d) Hàm số $f(x)$ có hai điểm cực trị khi $m>6.$

Accepted Answer

{"userId":5293521,"userName":"Secret"}Chắc chắn rồi, hãy cùng phân tích các khẳng định về hàm số y = f(x) = (x² + x - m) / (x - 2) và đồ thị (Cm) của nó:

1. Tìm đạo hàm f'(x):

f'(x) = [(2x + 1)(x - 2) - (x² + x - m)] / (x - 2)²

f'(x) = (2x² - 4x + x - 2 - x² - x + m) / (x - 2)²

f'(x) = (x² - 4x + m - 2) / (x - 2)²

2. Phân tích các khẳng định:

a) Đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực trị.

Để hàm số có 2 điểm cực trị, f'(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

x² - 4x + m - 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khi Δ' = (-2)² - (m - 2) > 0

4 - m + 2 > 0 => m < 6.

Vậy, khẳng định a) sai vì chỉ đúng khi m < 6.

b) Khi m = 5 thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (3; +∞).

Với m = 5, f'(x) = (x² - 4x + 3) / (x - 2)² = [(x - 1)(x - 3)] / (x - 2)²

f'(x) > 0 khi (x - 1)(x - 3) > 0 và x ≠ 2.

Bảng xét dấu:x < 1 hoặc x > 3: f'(x) > 0

1 < x < 2 hoặc 2 < x < 3: f'(x) < 0

Vậy, khi m = 5, hàm số đồng biến trên (3; +∞). Khẳng định b) đúng.

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên R.

Hàm số nghịch biến trên R khi f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R.

Điều này không thể xảy ra vì f'(x) có nghiệm và không thể luôn âm trên R. Khẳng định c) sai.

d) Hàm số f(x) có hai điểm cực trị khi m > 6.

Như đã phân tích ở a),

hàm số có 2 điểm cực trị khi m < 6. Khẳng định d) sai.

Kết luận:

Khẳng định b) Khi m = 5 thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (3; +∞) là đúng.