trả lời câu hỏi

Câu 1. Để tìm mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính doanh thu (R(x)): Doanh thu là tổng số tiền thu được từ việc bán hàng hóa, được tính bằng giá bán nhân với số lượng hàng hóa đã bán. $$ 2. Tính lợi nhuận (P(x)): Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa doanh thu và chi phí. $$ $$ $$ $$ 3. Tìm điểm cực đại của hàm lợi nhuận: Để tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta cần tìm giá trị của $$ làm cho đạo hàm của $$ bằng 0. $$ $$ Bây giờ, chúng ta giải phương trình $$: $$ Chia cả hai vế cho -0.012: $$ Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: $$ $$ $$ $$ $$ Ta có hai nghiệm: $$ $$ Do $$ là số lượng sản phẩm, nên chỉ có nghiệm dương là hợp lý: $$ 4. Kiểm tra tính chất cực đại: Để đảm bảo rằng $$ là điểm cực đại, chúng ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của $$: $$ $$ Tại $$: $$ Vì $$, nên $$ là điểm cực đại của hàm lợi nhuận. Kết luận: Mức sản xuất tối đa hóa lợi nhuận là 100 đơn vị hàng hóa. Câu 2. Để tìm giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ $$ $$ $$ $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại $$: $$ $$ Do đó, $$ là điểm cực đại. - Tại $$: $$ Do đó, $$ là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $$: $$ Vậy giá trị cực đại $$. - Tại $$: $$ Vậy giá trị cực tiểu $$. Bước 5: Tính giá trị của biểu thức $$: $$ Vậy giá trị của biểu thức $$ là $$. Câu 3. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là $$ và $$ (đơn vị: mét), với $$. Diện tích của mảnh vườn là: $$ Hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn có bán kính là $$, và tâm của hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật. Do đó, bán kính $$ của hình tròn là: $$ Diện tích của hình tròn là: $$ Diện tích của 4 phần đất mở rộng là: $$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $$. Để làm điều này, ta sẽ tối ưu hóa biểu thức $$ dưới ràng buộc $$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ $$ Dấu bằng xảy ra khi $$. Tuy nhiên, do $$, ta cần tìm giá trị gần nhất của $$ và $$ sao cho $$ và $$ nhỏ nhất. Giả sử $$ với $$. Thay vào biểu thức $$: $$ $$ Để tối ưu hóa $$, ta chọn $$ sao cho $$ và $$ gần nhau nhất. Ta thử với $$ và $$: $$ $$ Do đó, diện tích của 4 phần đất mở rộng là: $$ Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất mở rộng là: $$ Đáp số: $$ Câu 4. Gọi A là điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu. Gọi B và C lần lượt là vị trí của hai chiếc khinh khí cầu sau một thời gian. Gọi D là vị trí của người quan sát. Ta có: AB = 100√10 (m) AC = 100√5 (m) Tổng khoảng cách từ D đến B và C là nhỏ nhất nên D nằm trên đoạn AC. Do đó khoảng cách từ D đến A là: (100√10 + 100√5) : 2 ≈ 295 (m) Đáp số: 295 m Câu 5. Để tìm phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: $$ Trong đó: - $$ là tần số của nhóm thứ i. - $$ là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [600;650): $$ - Nhóm [650;700): $$ - Nhóm [700;750): $$ - Nhóm [750;800): $$ - Nhóm [800;850): $$ Bây giờ, ta tính tổng $$: $$ $$ $$ Tổng tần số $$ là: $$ Trung bình cộng của mẫu số liệu là: $$ Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: $$ Ta tính $$ cho mỗi nhóm: - Nhóm [600;650): $$ - Nhóm [650;700): $$ - Nhóm [700;750): $$ - Nhóm [750;800): $$ - Nhóm [800;850): $$ Bây giờ, ta tính tổng $$: $$ $$ $$ Phương sai của mẫu số liệu là: $$ Làm tròn đến hàng đơn vị, ta có: $$ Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 2631. Câu 6. Trước tiên, ta cần tìm tọa độ của trọng tâm G của tam giác ABC. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B, C. Ta có: $$ Do đó, tọa độ của G là: $$ Mặt phẳng $$ đi qua trọng tâm G và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A', B', C'. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$ Ta sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán này. Ta đặt tọa độ của các điểm A', B', C' trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt là: $$ $$ $$ Vì A', B', C' nằm trên các cạnh SA, SB, SC nên ta có: $$ $$ $$ Biểu thức T trở thành: $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $$ Do đó: $$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của T, tức là giá trị nhỏ nhất của: $$ Để giá trị này nhỏ nhất, ta cần: $$ lớn nhất. Ta thấy rằng khi A', B', C' trùng với A, B, C thì biểu thức này đạt giá trị lớn nhất. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là: $$ Đáp số: $$