đáp án của các câu Câu 47: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P):~2x-y-z-3=0$ và $(Q):~x-z-2=0.$ Góc,giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng,$A.~30^0.$ $B.~45^0.$ $C.~60^0.$ $D.~90^0.$,Câu 48: Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết $d:\frac{x+1}2=\frac{y-1}1=\frac{z-2}1.$,$A.~\frac{\sqrt2}6.$ $B.~\frac{\sqrt6}3.$ $C.~\frac{\sqrt2}3.$ $D.~\frac16.$,Câu 49. Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P):~x+2y-2z-16=0$ và,$(Q):~x+2y-2z-1=0$ bằng,A.5. $B.~\frac{17}3.$ C.6. $D.~\frac53.$,Bài 50. Khoảng cách từ điểm $M(a;b;c)$ đến mặt phẳng $x-a-b-c=0$ là,$A.|a+b|.$ $B.|b+c|.$ $C.|c+a|.$ $D.~\frac{|b+c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

Question

Accepted Answer

Câu 47:
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta cần tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng:
   - Mặt phẳng $(P):~2x-y-z-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1 = (2, -1, -1)$.
   - Mặt phẳng $(Q):~x-z-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2 = (1, 0, -1)$.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến:
   $$
   \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot (-1) = 2 + 0 + 1 = 3
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ pháp tuyến:
   $$
   |\vec{n}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}
   $$
   $$
   |\vec{n}_2| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}
   $$

4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
   $$

5. Tìm góc $\theta$:
   $$
   \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 30^\circ
   $$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là:
A. $30^\circ$.

Câu 48:
Để tính cosin góc giữa đường thẳng $d$ với trục $Ox$, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ và vectơ chỉ phương của trục $Ox$.

Đường thẳng $d$ có phương trình:
$$ d: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} $$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là:
$$ \vec{u} = (2, 1, 1) $$

Trục $Ox$ có vectơ chỉ phương là:
$$ \vec{i} = (1, 0, 0) $$

Gọi góc giữa đường thẳng $d$ và trục $Ox$ là $\theta$. Ta có công thức tính cosin góc giữa hai vectơ:
$$ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{i}}{|\vec{u}| |\vec{i}|} $$

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{i}$:
$$ \vec{u} \cdot \vec{i} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 2 $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
$$ |\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{i}$:
$$ |\vec{i}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 $$

Thay vào công thức tính cosin góc:
$$ \cos \theta = \frac{2}{\sqrt{6} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2 \sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Vậy cosin góc giữa đường thẳng $d$ với trục $Ox$ là:
$$ \boxed{\frac{\sqrt{6}}{3}} $$

Đáp án đúng là: B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Câu 49.
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách từ một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ là:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Trước tiên, ta nhận thấy rằng hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng phương pháp chuẩn $(1, 2, -2)$. Do đó, khoảng cách giữa chúng sẽ là khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng $(P)$ đến mặt phẳng $(Q)$.

Chọn điểm $A(0, 0, -8)$ thuộc mặt phẳng $(P)$ (vì thay vào phương trình $(P)$ ta có $0 + 0 - 2(-8) - 16 = 0$).

Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $A(0, 0, -8)$ đến mặt phẳng $(Q): x + 2y - 2z - 1 = 0$.

Áp dụng công thức khoảng cách:
$$ d = \frac{|1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot (-8) - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} $$
$$ d = \frac{|0 + 0 + 16 - 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} $$
$$ d = \frac{|15|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{15}{3} $$
$$ d = 5 $$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là 5.

Đáp án đúng là: A. 5.

Bài 50.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ M(a; b; c) $ đến mặt phẳng $ x - a - b - c = 0 $, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách từ điểm $ M(x_0; y_0; z_0) $ đến mặt phẳng $ Ax + By + Cz + D = 0 $ là:
$$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

Trong trường hợp này, mặt phẳng đã cho là $ x - a - b - c = 0 $. Ta có thể viết lại phương trình mặt phẳng dưới dạng chuẩn:
$$ 1 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z - (a + b + c) = 0 $$

Do đó, các hệ số $ A, B, C, D $ lần lượt là:
$$ A = 1, \quad B = 0, \quad C = 0, \quad D = -(a + b + c) $$

Điểm $ M $ có tọa độ $ (a, b, c) $.

Áp dụng công thức khoảng cách:
$$ d = \frac{|1 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c - (a + b + c)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} $$
$$ d = \frac{|a - (a + b + c)|}{\sqrt{1}} $$
$$ d = |a - a - b - c| $$
$$ d = |-b - c| $$
$$ d = |b + c| $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ M(a; b; c) $ đến mặt phẳng $ x - a - b - c = 0 $ là $ |b + c| $.

Đáp án đúng là: B. $ |b + c| $.