giải chi tiết

Câu 7. Để tìm tọa độ điểm $$ sao cho tam giác $$ vuông tại $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm $$: - Gọi $$ có tọa độ là $$. - Vì $$ thuộc parabol $$, nên ta có $$. 2. Tính các vectơ: - Vectơ $$. - Vectơ $$. 3. Điều kiện vuông tại $$: - Để tam giác $$ vuông tại $$, thì $$ và $$ phải vuông góc với nhau. - Điều này tương đương với $$. 4. Tính tích vô hướng: $$ $$ $$ $$ $$ 5. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: $$ $$ - Từ phương trình (1), ta có: $$ $$ - Thay vào phương trình (2): $$ $$ $$ $$ - Giải phương trình bậc hai: $$ $$ - Thay lại để tìm $$: - Nếu $$: $$ - Nếu $$: $$ 6. Kết luận: - Tọa độ điểm $$ là $$ hoặc $$. Đáp số: $$ hoặc $$. Câu 8. Phương trình đường chuẩn của parabol (P) là $$. Điều này có nghĩa là đường chuẩn nằm ở vị trí $$. Trong hình học phẳng, phương trình chính tắc của một parabol có dạng $$, trong đó $$ là khoảng cách từ đỉnh parabol đến tiêu điểm hoặc đường chuẩn. Vì đường chuẩn của parabol (P) là $$, ta suy ra $$. Do đó, phương trình chính tắc của parabol (P) là: $$ $$ Vậy phương trình chính tắc của parabol (P) là: $$ Câu 9. Để giải quyết các khẳng định về parabol (P) với phương trình chính tắc và đi qua điểm $$, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a) Phương trình chính tắc của (P) là $$. Phương trình chính tắc của parabol có dạng $$. Ta biết rằng parabol này đi qua điểm $$. Thay tọa độ của điểm $$ vào phương trình: $$ $$ $$ Do đó, phương trình chính tắc của parabol là: $$ $$ Khẳng định a) là đúng. Khẳng định b) Tiêu điểm của (P) là $$. Tiêu điểm của parabol $$ là $$. Với $$, tiêu điểm là: $$ Khẳng định b) là sai vì tiêu điểm thực sự là $$, không phải $$. Khẳng định c) Đường chuẩn của (P) là $$. Đường chuẩn của parabol $$ là $$. Với $$, đường chuẩn là: $$ $$ Khẳng định c) là đúng. Khẳng định d) Một điểm M nằm trên (P) có tung độ $$ thì $$. Điểm M nằm trên parabol $$, do đó nếu $$, ta có: $$ $$ Vậy tọa độ của điểm M là $$. Tiêu điểm của parabol là $$. Ta tính khoảng cách từ M đến F: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Khẳng định d) là sai vì $$, không phải $$. Kết luận: - Khẳng định a) là đúng. - Khẳng định b) là sai. - Khẳng định c) là đúng. - Khẳng định d) là sai. Câu 10. a) Phương trình chính tắc của (P) là $$ Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm $$ là $$. Vì tiêu điểm là $$ nên $$, suy ra phương trình chính tắc của (P) là $$. Do đó, phát biểu này sai. b) Đường chuẩn của (P) là $$ Đường chuẩn của parabol $$ là $$. Vì tiêu điểm là $$ nên $$, suy ra phương trình đường chuẩn là $$. Do đó, phát biểu này sai. c) (P) qua $$ Thay tọa độ điểm $$ vào phương trình $$, ta có $$, tức là $$, điều này là sai. Do đó, phát biểu này sai. d) Trong các dây cung của (P) qua tiêu điểm thì dây có độ dài nhỏ nhất là 4 . Trong các dây cung của parabol qua tiêu điểm, dây cung vuông góc với trục đối xứng sẽ có độ dài nhỏ nhất. Độ dài dây cung này là $$, trong đó $$ là khoảng cách từ đỉnh đến tiêu điểm. Vì tiêu điểm là $$ nên $$, suy ra độ dài dây cung nhỏ nhất là $$. Do đó, phát biểu này sai. Đáp án: Tất cả các phát biểu đều sai.