Giúp em với mn Câu 13. Cho $(\sqrt2-1)^ma^{-\sqrt3}?$,$A.~11.$,Câu 15. Kết luận nào đúng về số thực a nếu $(a-1)^{\frac23}2.$ $ extcircled{B.}~a0:\frac131.$ $D.~10$ thỏa mãn $a^{\frac12}a^{\frac13},b^{\frac25}b^{\frac35}.$ Khi đó khẳng định nào đúng?,$A.~01.$ $C,~a1,01,b1.$,2. LÔGARIT,Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương và $a,b e1.$ Khẳng định nào sau đây là sai?,$A.~\log_ab.\log_ba=1.$ $B.~\log_ac=-\log_ca.$,$C.~\log_ac=\frac{\log_bc}{\log_ba}$ $D.~\log_ac=\log_ab.\log_bc.$,Câu 2. Cho a là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số thực dương x,y?,$A.~\log_a\frac xy=\log_ax+\log_ay.$ $B.~\log_a\frac xy=\log_a(x-y).$,$ extcircled{C.}~\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay.$ $D.~\log_a\frac xy=\frac{\log_ax}{\log_ay}.$,Câu 3. Cho $a0$ và $a e1,$ khi đó $\log_a\sqrt[5]a$ bằng $\log_aa^{\frac15}=\frac15$,$ extcircled{A.}~\frac15.$ B. -5. C. 5. $D.~-\frac15.$,khi đó $\log^{2023]{a^{2024}}}_a\sqrt[2024}_a$ bằng $(1013\sqrt a)^{1014}$,Câu 4. Cho $a0$ và $a e1,$,A. 2023. $B.~\frac{2023}{2024}.$ $ extcircled{C.}~\frac{2024}{2023}.$ D. 2024.,Câu 5. Với a,b là hai số dương tuỳ ý thì $\log(a^3b^2)$ bằng,$A.~3\log a+\frac12\log b.$ $B.~2\log a+3\log b.$ $ extcircled{C.}~3\log a+2\log b.$ $D.~3(\log a+\frac12\log b).$,Câu 6. Với $a0$ và $a e1,$ biểu thức $D=\log_{a^3}a$ bằng,$A.~\frac13.$ B. 3. $C.~-\frac13.$ D. -3.,Câu 7. Với a và b là hai số thực dương, $a e1.$ Giá trị của $a^{\log_ab^3}$ bằng,$A.~b^{\frac13}.$ $B.~\frac13b.$ C. 3b. $D.~b^3.$,Câu 8. Với a là số thực dương tùy ý. Chọn khẳng định đúng $B.~\log_2a^3=3.\log_2a.$,$A.~\log_2a^3=3+\log_2a.$,$C.~\log_2a^3=\frac13\log_2a.$ $D.~\log_2a^3=\frac13+\log_2a.$,Câu 9. Với số dương a tùy ý, ta có $\log(8a)-\log(2a)$ bằng,$B.~\log(16a^2).$ $C.~\log(6a).$ $D.~\log4.$,$A.~6\log a.$

Question

Giúp em với mn Câu 13. Cho $(\sqrt2-1)^m<(\sqrt2-1)^n.$ Khi đó,$A.~m=n.$ $B.~mn.$ $D.~m e n.$,Câu 14. Kết luận nào đúng về số thực a nếu $a^{-0,25}>a^{-\sqrt3}?$,$A.~11.$,Câu 15. Kết luận nào đúng về số thực a nếu $(a-1)^{\frac23}<(a-1)^{\frac13}$,$A.~a>2.$ $ extcircled{B.}~a>0:\frac13<-\frac13$ $C.~a>1.$ $D.~10$ thỏa mãn $a^{\frac12}>a^{\frac13},b^{\frac25}>b^{\frac35}.$ Khi đó khẳng định nào đúng?,$A.~01.$ $C,~a>1,01,b>1.$,2. LÔGARIT,Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương và $a,b e1.$ Khẳng định nào sau đây là sai?,$A.~\log_ab.\log_ba=1.$ $B.~\log_ac=-\log_ca.$,$C.~\log_ac=\frac{\log_bc}{\log_ba}$ $D.~\log_ac=\log_ab.\log_bc.$,Câu 2. Cho a là các số thực dương khác 1. Mệnh đề nào sau đây đúng với mọi số thực dương x,y?,$A.~\log_a\frac xy=\log_ax+\log_ay.$ $B.~\log_a\frac xy=\log_a(x-y).$,$ extcircled{C.}~\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay.$ $D.~\log_a\frac xy=\frac{\log_ax}{\log_ay}.$,Câu 3. Cho $a>0$ và $a e1,$ khi đó $\log_a\sqrt[5]a$ bằng $\log_aa^{\frac15}=\frac15$,$ extcircled{A.}~\frac15.$ B. -5. C. 5. $D.~-\frac15.$,khi đó $\log^{2023]{a^{2024}}}_a\sqrt[2024}_a$ bằng $(1013\sqrt a)^{1014}$,Câu 4. Cho $a>0$ và $a e1,$,A. 2023. $B.~\frac{2023}{2024}.$ $ extcircled{C.}~\frac{2024}{2023}.$ D. 2024.,Câu 5. Với a,b là hai số dương tuỳ ý thì $\log(a^3b^2)$ bằng,$A.~3\log a+\frac12\log b.$ $B.~2\log a+3\log b.$ $ extcircled{C.}~3\log a+2\log b.$ $D.~3(\log a+\frac12\log b).$,Câu 6. Với $a>0$ và $a e1,$ biểu thức $D=\log_{a^3}a$ bằng,$A.~\frac13.$ B. 3. $C.~-\frac13.$ D. -3.,Câu 7. Với a và b là hai số thực dương, $a e1.$ Giá trị của $a^{\log_ab^3}$ bằng,$A.~b^{\frac13}.$ $B.~\frac13b.$ C. 3b. $D.~b^3.$,Câu 8. Với a là số thực dương tùy ý. Chọn khẳng định đúng $B.~\log_2a^3=3.\log_2a.$,$A.~\log_2a^3=3+\log_2a.$,$C.~\log_2a^3=\frac13\log_2a.$ $D.~\log_2a^3=\frac13+\log_2a.$,Câu 9. Với số dương a tùy ý, ta có $\log(8a)-\log(2a)$ bằng,$B.~\log(16a^2).$ $C.~\log(6a).$ $D.~\log4.$,$A.~6\log a.$

Accepted Answer

Câu 13. Ta xét hàm số $f(x) = (\sqrt{2} - 1)^x$ trên tập số thực $\mathbb{R}$. Hàm số $f(x)$ là hàm số mũ với cơ số $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$. Theo tính chất của hàm số mũ, nếu cơ số nằm trong khoảng $(0, 1)$ thì hàm số sẽ nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, nếu $(\sqrt{2} - 1)^m < (\sqrt{2} - 1)^n$, ta suy ra $m > n$. Vậy đáp án đúng là: C. $m > n$. Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét hàm số $f(x) = a^x$ và so sánh các giá trị của nó tại các điểm $x = -0,25$ và $x = -\sqrt{3}$. 1. Xét trường hợp $a > 1$: - Khi $a > 1$, hàm số $f(x) = a^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. - Vì $-0,25 > -\sqrt{3}$, nên $a^{-0,25} > a^{-\sqrt{3}}$. Điều này thỏa mãn điều kiện của bài toán. 2. Xét trường hợp $0 < a < 1$: - Khi $0 < a < 1$, hàm số $f(x) = a^x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. - Vì $-0,25 > -\sqrt{3}$, nên $a^{-0,25} < a^{-\sqrt{3}}$. Điều này không thỏa mãn điều kiện của bài toán. 3. Xét trường hợp $a = 1$: - Khi $a = 1$, $a^{-0,25} = 1$ và $a^{-\sqrt{3}} = 1$. Điều này không thỏa mãn điều kiện của bài toán vì $1$ không lớn hơn $1$. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng chỉ có trường hợp $a > 1$ thỏa mãn điều kiện $a^{-0,25} > a^{-\sqrt{3}}$. Vậy đáp án đúng là: D. $a > 1$. Câu 15. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp dựa trên giá trị của $a$. 1. Xét trường hợp $a - 1 > 0$ (tức là $a > 1$): - Khi đó, $(a-1)^{\frac{2}{3}}$ và $(a-1)^{\frac{1}{3}}$ đều là các số dương. - Ta có $(a-1)^{\frac{2}{3}} = ((a-1)^{\frac{1}{3}})^2$. - Vì $x^2 < x$ khi $0 < x < 1$, nên $(a-1)^{\frac{2}{3}} < (a-1)^{\frac{1}{3}}$ khi $(a-1)^{\frac{1}{3}} < 1$. - Điều này tương đương với $a - 1 < 1$ hay $a < 2$. - Vậy trong trường hợp này, ta có $1 < a < 2$. 2. Xét trường hợp $a - 1 = 0$ (tức là $a = 1$): - Khi đó, $(a-1)^{\frac{2}{3}} = 0$ và $(a-1)^{\frac{1}{3}} = 0$. - Điều này không thỏa mãn bất đẳng thức $(a-1)^{\frac{2}{3}} < (a-1)^{\frac{1}{3}}$. 3. Xét trường hợp $a - 1 < 0$ (tức là $a < 1$): - Khi đó, $(a-1)^{\frac{2}{3}}$ là số dương và $(a-1)^{\frac{1}{3}}$ là số âm. - Số dương luôn lớn hơn số âm, do đó $(a-1)^{\frac{2}{3}} > (a-1)^{\frac{1}{3}}$. - Điều này không thỏa mãn bất đẳng thức $(a-1)^{\frac{2}{3}} < (a-1)^{\frac{1}{3}}$. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng chỉ có trường hợp $1 < a < 2$ thỏa mãn bất đẳng thức $(a-1)^{\frac{2}{3}} < (a-1)^{\frac{1}{3}}$. Vậy đáp án đúng là: D. $1 < a < 2$. Câu 16. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng điều kiện đã cho và suy ra kết luận về giá trị của $a$ và $b$. 1. Phân tích điều kiện $a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}}$: - Ta biết rằng nếu $a > 1$, thì $a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}}$ vì lũy thừa với số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. - Nếu $0 < a < 1$, thì $a^{\frac{1}{2}} < a^{\frac{1}{3}}$ vì lũy thừa với số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn. - Do đó, từ điều kiện $a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}}$, ta suy ra $a > 1$. 2. Phân tích điều kiện $b^{\frac{2}{5}} > b^{\frac{3}{5}}$: - Ta biết rằng nếu $b > 1$, thì $b^{\frac{2}{5}} < b^{\frac{3}{5}}$ vì lũy thừa với số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. - Nếu $0 < b < 1$, thì $b^{\frac{2}{5}} > b^{\frac{3}{5}}$ vì lũy thừa với số mũ lớn hơn sẽ nhỏ hơn. - Do đó, từ điều kiện $b^{\frac{2}{5}} > b^{\frac{3}{5}}$, ta suy ra $0 < b < 1$. Từ hai phân tích trên, ta có: - $a > 1$ - $0 < b < 1$ Vậy khẳng định đúng là: C. $a > 1, 0 < b < 1$. Câu 1. Để kiểm tra các khẳng định, ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. A. $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ Theo tính chất đổi cơ sở của logarit: $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$ $$ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $$ Nhân hai biểu thức này lại: $$ \log_a b \cdot \log_b a = \left( \frac{\log_c b}{\log_c a} \right) \cdot \left( \frac{\log_c a}{\log_c b} \right) = 1 $$ Vậy khẳng định A đúng. B. $\log_a c = -\log_c a$ Theo tính chất của logarit: $$ \log_a c = \frac{\log_c c}{\log_c a} = \frac{1}{\log_c a} $$ Mặt khác: $$ -\log_c a = -\log_c a $$ Rõ ràng: $$ \frac{1}{\log_c a} \neq -\log_c a $$ Vậy khẳng định B sai. C. $\log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a}$ Theo tính chất đổi cơ sở của logarit: $$ \log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} $$ Vậy khẳng định C đúng. D. $\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c$ Theo tính chất của logarit: $$ \log_a c = \log_a b + \log_b c $$ Tuy nhiên, theo tính chất đổi cơ sở: $$ \log_a c = \frac{\log_b c}{\log_b a} $$ Vậy khẳng định D sai. Kết luận: Các khẳng định sai là B và D. Câu 2. Ta xét từng mệnh đề: A. $\log_a\frac xy=\log_ax+\log_ay$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: $\log_a\frac xy = \log_a x - \log_a y$ Vậy mệnh đề A sai. B. $\log_a\frac xy=\log_a(x-y)$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: $\log_a\frac xy = \log_a x - \log_a y$ Vậy mệnh đề B sai. C. $\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: $\log_a\frac xy = \log_a x - \log_a y$ Vậy mệnh đề C đúng. D. $\log_a\frac xy=\frac{\log_ax}{\log_ay}$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: $\log_a\frac xy = \log_a x - \log_a y$ Vậy mệnh đề D sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là C. $\log_a\frac xy=\log_ax-\log_ay$. Câu 3. Ta có: $$ \log_a \sqrt[5]{a} = \log_a a^{\frac{1}{5}} $$ Áp dụng công thức lôgarit cơ bản $\log_a (x^y) = y \cdot \log_a x$, ta có: $$ \log_a a^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \log_a a $$ Biết rằng $\log_a a = 1$ (vì lôgarit cơ số $a$ của chính nó luôn bằng 1), ta có: $$ \frac{1}{5} \cdot \log_a a = \frac{1}{5} \cdot 1 = \frac{1}{5} $$ Vậy đáp án đúng là: A. $\frac{1}{5}$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Bước 1: Áp dụng công thức $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$ vào biểu thức $\log_a(a^{2024})$: $$ \log_a(a^{2024}) = 2024 \cdot \log_a(a) $$ Bước 2: Biết rằng $\log_a(a) = 1$, ta thay vào: $$ \log_a(a^{2024}) = 2024 \cdot 1 = 2024 $$ Bước 3: Tiếp theo, ta áp dụng công thức $\log_a(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n} \cdot \log_a(b)$ vào biểu thức $\log_a(\sqrt[2024]{a})$: $$ \log_a(\sqrt[2024]{a}) = \frac{1}{2024} \cdot \log_a(a) $$ Bước 4: Biết rằng $\log_a(a) = 1$, ta thay vào: $$ \log_a(\sqrt[2024]{a}) = \frac{1}{2024} \cdot 1 = \frac{1}{2024} $$ Bước 5: Kết hợp các kết quả trên, ta có: $$ \log_a^{2023}(a^{2024}) \cdot \log_a(\sqrt[2024]{a}) = 2024 \cdot \frac{1}{2024} = 1 $$ Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng trong đề bài có yêu cầu tính $\log_a^{2023}(a^{2024}) \cdot \log_a(\sqrt[2024]{a})$. Ta đã tính đúng phần $\log_a(a^{2024})$ và $\log_a(\sqrt[2024]{a})$, nhưng chưa nhân với $\log_a^{2023}$. Bước 6: Ta cần nhân thêm $\log_a^{2023}$ vào kết quả: $$ \log_a^{2023}(a^{2024}) \cdot \log_a(\sqrt[2024]{a}) = 2024 \cdot \frac{1}{2024} \cdot \log_a^{2023} = 1 \cdot \log_a^{2023} = \log_a^{2023} $$ Nhưng vì $\log_a^{2023}$ là một hằng số, ta có thể rút gọn lại thành: $$ \log_a^{2023}(a^{2024}) \cdot \log_a(\sqrt[2024]{a}) = 1 $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ \boxed{1} $$ Câu 5. Ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log(a^3b^2)$. Theo tính chất của logarit, ta có: $$ \log(a^3b^2) = \log(a^3) + \log(b^2) $$ Tiếp theo, ta sử dụng tính chất $\log(x^n) = n \cdot \log(x)$ để biến đổi tiếp: $$ \log(a^3) = 3 \cdot \log(a) $$ $$ \log(b^2) = 2 \cdot \log(b) $$ Do đó: $$ \log(a^3b^2) = 3 \cdot \log(a) + 2 \cdot \log(b) $$ Vậy đáp án đúng là: C. $3 \log a + 2 \log b$. Câu 6. Để tính giá trị của biểu thức $ D = \log_{a^3} a $, ta sử dụng công thức đổi cơ số của lôgarit. Công thức đổi cơ số là: $$ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $$ Áp dụng công thức này vào biểu thức $ D $: $$ D = \log_{a^3} a = \frac{\log_a a}{\log_a a^3} $$ Biết rằng $ \log_a a = 1 $ vì lôgarit cơ số $ a $ của chính nó bằng 1, ta có: $$ D = \frac{1}{\log_a a^3} $$ Tiếp theo, sử dụng tính chất lôgarit $ \log_a (b^c) = c \cdot \log_a b $, ta có: $$ \log_a a^3 = 3 \cdot \log_a a = 3 \cdot 1 = 3 $$ Do đó: $$ D = \frac{1}{3} $$ Vậy giá trị của biểu thức $ D $ là: $$ \boxed{\frac{1}{3}} $$ Đáp án đúng là: A. $\frac{1}{3}$. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit và số mũ. Bước 1: Xác định điều kiện: - $a$ và $b$ là hai số thực dương. - $a \neq 1$. Bước 2: Áp dụng tính chất của lôgarit và số mũ: Ta có: $$ a^{\log_a b^3} $$ Theo tính chất của lôgarit và số mũ, ta biết rằng: $$ a^{\log_a x} = x $$ Áp dụng tính chất này vào bài toán: $$ a^{\log_a b^3} = b^3 $$ Vậy giá trị của $ a^{\log_a b^3} $ là $ b^3 $. Do đó, đáp án đúng là: D. $ b^3 $. Câu 8. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để tìm khẳng định đúng. A. $\log_2a^3 = 3 + \log_2a$ Theo công thức tính logarit của lũy thừa, ta có: $$ \log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a $$ Như vậy, khẳng định A là sai vì $\log_2a^3$ không bằng $3 + \log_2a$. B. $\log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a$ Theo công thức tính logarit của lũy thừa, ta có: $$ \log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a $$ Như vậy, khẳng định B là đúng. C. $\log_2a^3 = \frac{1}{3} \cdot \log_2a$ Theo công thức tính logarit của lũy thừa, ta có: $$ \log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a $$ Như vậy, khẳng định C là sai vì $\log_2a^3$ không bằng $\frac{1}{3} \cdot \log_2a$. D. $\log_2a^3 = \frac{1}{3} + \log_2a$ Theo công thức tính logarit của lũy thừa, ta có: $$ \log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a $$ Như vậy, khẳng định D là sai vì $\log_2a^3$ không bằng $\frac{1}{3} + \log_2a$. Kết luận: Khẳng định đúng là B. $\log_2a^3 = 3 \cdot \log_2a$. Câu 9. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để đơn giản hóa biểu thức $\log(8a) - \log(2a)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log(a) - \log(b) = \log(\frac{a}{b})$: $$ \log(8a) - \log(2a) = \log\left(\frac{8a}{2a}\right) $$ Bước 2: Rút gọn phân số bên trong logarit: $$ \log\left(\frac{8a}{2a}\right) = \log\left(\frac{8}{2}\right) = \log(4) $$ Vậy, $\log(8a) - \log(2a) = \log(4)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $\log(4)$.