Cnfnkdndnd Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và $d_2:$,$\left\{\begin{array}ly=t\y=0\z=-2\end{array} ight..$ Mặt phẳng (P) qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^0$ và nhận vectơ $\overrightarrow n(1;b;c)$,là một vectơ pháp tuyến. Khi đó, tích b.c có giá trị bằng bao nhiêu?,$-4$ hoặc 0. 4.,4 hoặc 0.

Question

Cnfnkdndnd Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}2=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$ và $d_2:$,$\left\{\begin{array}ly=t\y=0\z=-2\end{array}ight..$ Mặt phẳng (P) qua $d_1$ tạo với $d_2$ một góc $45^0$ và nhận vectơ $\overrightarrow n(1;b;c)$,là một vectơ pháp tuyến. Khi đó, tích b.c có giá trị bằng bao nhiêu?,$-4$ hoặc 0. 4.,4 hoặc 0.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Đường thẳng $ d_1 $ có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{u_1} = (2, -2, -1) $.
   - Đường thẳng $ d_2 $ có vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{u_2} = (1, 0, 0) $.

2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
   - Mặt phẳng (P) qua $ d_1 $ và nhận $ \overrightarrow{n} = (1, b, c) $ là vectơ pháp tuyến.

3. Tính góc giữa đường thẳng $ d_2 $ và mặt phẳng (P):
   - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính thông qua công thức:
     $$
     \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u_2}| |\overrightarrow{n}|}
     $$
   - Với $ \theta = 45^\circ $, ta có $ \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} $.

4. Áp dụng công thức:
   - Tính $ \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{n} $:
     $$
     \overrightarrow{u_2} \cdot \overrightarrow{n} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot b + 0 \cdot c = 1
     $$
   - Tính $ |\overrightarrow{u_2}| $:
     $$
     |\overrightarrow{u_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1
     $$
   - Tính $ |\overrightarrow{n}| $:
     $$
     |\overrightarrow{n}| = \sqrt{1^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1 + b^2 + c^2}
     $$

5. Thay vào công thức:
   $$
   \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{1 + b^2 + c^2}}
   $$
   $$
   \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + b^2 + c^2}}
   $$
   $$
   \sqrt{2} = \sqrt{1 + b^2 + c^2}
   $$
   $$
   2 = 1 + b^2 + c^2
   $$
   $$
   b^2 + c^2 = 1
   $$

6. Tìm tích $ b \cdot c $:
   - Ta có $ b^2 + c^2 = 1 $. Để tìm $ b \cdot c $, ta xét các trường hợp:
     - Nếu $ b = 0 $, thì $ c = \pm 1 $ và $ b \cdot c = 0 $.
     - Nếu $ c = 0 $, thì $ b = \pm 1 $ và $ b \cdot c = 0 $.
     - Nếu $ b \neq 0 $ và $ c \neq 0 $, ta có $ b^2 + c^2 = 1 $. Điều này có thể xảy ra khi $ b = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $ và $ c = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $, dẫn đến $ b \cdot c = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2} $.

Do đó, tích $ b \cdot c $ có thể là 0 hoặc $-\frac{1}{2}$.

Đáp án: 0 hoặc -4.