giải từ câu 8 đến câu 12 Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình,$d_1:\frac{x+1}1=\frac{y-2}1=\frac{z+2}{-1}$ và $d_2:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}1$,Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là,$A.~\frac13.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac1{\sqrt3}.$ $D.~\frac1{\sqrt2}.$,Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y{-1}=\frac z2$ và mặt phẳng,$(\alpha):~x+2y-z=0.$ Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ bằng,$A.~60^0.$ $ extcircled B.~B0^0.$ $C.~150^0.$ $D.~120^0.$,Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyt , cho mặt cầu,$(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là,$(A)~I(1;-2;3);R=5.$ $B.~I(-1;2;-3);R=5.$,$C.~I(1;-2;3);R=25.$ $D.~I(-1;2;-3);R=25.$,Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1;0;-2)$ và $B(5;4;4).$ Phương,trình mặt cầu đường kính AB là,$A.~(x+3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=17.$ $ extcircled B~(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=17.$,$C.~(x+3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=\sqrt{17}.$ $D.~(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\sqrt{17}.$,Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $I(2;1;0)$ và $A(1;2;3)$ .ặặặt cầu ()),tâm I và đi qua điểm A có phương trình là,$A.~(S):(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=\sqrt{11}.$ $B.~(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=\sqrt{11}.$,$ extcircled C~(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^3=11.$ $D.~(S):(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=11.$,Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai,Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;-2;1),~B(0;1;-3)$ và mặt phẳng,$(P):~x-y-3=0.$,4 a) Điểm A thuộc mặt phẳng (P).,() b) Mặt phẳng (P) song song với trục Oz.,A c) Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua A,B vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình,$2x+2y+z-1=0$,d d) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), cách (P) một khoảng bằng $2\sqrt2$ và cắt,trục Ox tại điểm có hoành độ dương có phương trình: $(Q):~x-y-1=0$

Question

giải từ câu 8 đến câu 12 Câu 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng có phương trình,$d_1:\frac{x+1}1=\frac{y-2}1=\frac{z+2}{-1}$ và $d_2:\frac{x-1}1=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}1$,Khi đó cosin góc giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là,$A.~\frac13.$ $B.~\frac12.$ $C.~\frac1{\sqrt3}.$ $D.~\frac1{\sqrt2}.$,Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\frac x1=\frac y{-1}=\frac z2$ và mặt phẳng,$(\alpha):~x+2y-z=0.$ Góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ bằng,$A.~60^0.$ $	extcircled B.~B0^0.$ $C.~150^0.$ $D.~120^0.$,Câu 10. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyt , cho mặt cầu,$(S):~(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) là,$(A)~I(1;-2;3);R=5.$ $B.~I(-1;2;-3);R=5.$,$C.~I(1;-2;3);R=25.$ $D.~I(-1;2;-3);R=25.$,Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $A(1;0;-2)$ và $B(5;4;4).$ Phương,trình mặt cầu đường kính AB là,$A.~(x+3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=17.$ $	extcircled B~(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=17.$,$C.~(x+3)^2+(y+2)^2+(z+1)^2=\sqrt{17}.$ $D.~(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=\sqrt{17}.$,Câu 12. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm $I(2;1;0)$ và $A(1;2;3)$ .ặặặt cầu ()),tâm I và đi qua điểm A có phương trình là,$A.~(S):(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=\sqrt{11}.$ $B.~(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=\sqrt{11}.$,$	extcircled C~(S):(x-2)^2+(y-1)^2+z^3=11.$ $D.~(S):(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=11.$,Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai,Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A(1;-2;1),~B(0;1;-3)$ và mặt phẳng,$(P):~x-y-3=0.$,4 a) Điểm A thuộc mặt phẳng (P).,() b) Mặt phẳng (P) song song với trục Oz.,A c) Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua A,B vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình,$2x+2y+z-1=0$,d d) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), cách (P) một khoảng bằng $2\sqrt2$ và cắt,trục Ox tại điểm có hoành độ dương có phương trình: $(Q):~x-y-1=0$

Accepted Answer

Câu 8.
Để tìm cosin góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng:
   - Đường thẳng $ d_1 $ có phương trình: $ \frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+2}{-1} $
     Vectơ chỉ phương của $ d_1 $ là $ \vec{u}_1 = (1, 1, -1) $.

- Đường thẳng $ d_2 $ có phương trình: $ \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+1}{1} $
     Vectơ chỉ phương của $ d_2 $ là $ \vec{u}_2 = (1, -1, 1) $.

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + (-1) \cdot 1 = 1 - 1 - 1 = -1
   $$

3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương:
   $$
   |\vec{u}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$
   $$
   |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}
   $$

4. Tính cosin góc giữa hai vectơ chỉ phương:
   $$
   \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}
   $$

Do đó, cosin góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là $ -\frac{1}{3} $. Tuy nhiên, vì cosin góc giữa hai đường thẳng luôn là giá trị dương, ta lấy giá trị tuyệt đối:
$$
\cos \theta = \left| -\frac{1}{3} \right| = \frac{1}{3}
$$

Vậy đáp án đúng là:
A. $ \frac{1}{3} $

Đáp số: A. $ \frac{1}{3} $

Câu 9.
Để tìm góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   Đường thẳng $\Delta$ có phương trình tham số:
   $$
   \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}
   $$
   Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là:
   $$
   \vec{u} = (1, -1, 2)
   $$

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$:
   Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình:
   $$
   x + 2y - z = 0
   $$
   Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
   $$
   \vec{n} = (1, 2, -1)
   $$

3. Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$:
   Gọi $\theta$ là góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Ta biết rằng:
   $$
   \sin(\theta) = \cos(\phi)
   $$
   trong đó $\phi$ là góc giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

Ta tính $\cos(\phi)$ bằng công thức:
   $$
   \cos(\phi) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{u}| |\vec{n}|}
   $$

Tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{n}$:
   $$
   \vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 1 - 2 - 2 = -3
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{u}$:
   $$
   |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
   $$

Tính độ dài của vectơ $\vec{n}$:
   $$
   |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
   $$

Vậy:
   $$
   \cos(\phi) = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}
   $$

Do đó:
   $$
   \sin(\theta) = \left| \cos(\phi) \right| = \left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2}
   $$

Từ đây suy ra:
   $$
   \theta = \sin^{-1}\left( \frac{1}{2} \right) = 30^\circ
   $$

Vậy góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $30^\circ$. Đáp án đúng là B. $30^\circ$.

Câu 10.
Phương pháp giải:
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho.

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
- Phương trình mặt cầu $(S)$ được cho là $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 25$.
- So sánh với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, ta nhận thấy:
  - Tâm của mặt cầu là $I(a, b, c) = I(1, -2, 3)$.
  - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{25} = 5$.

Bước 2: Kết luận.
- Tọa độ tâm của mặt cầu là $I(1, -2, 3)$.
- Bán kính của mặt cầu là $R = 5$.

Vậy đáp án đúng là:
A. $I(1, -2, 3); R = 5$.

Câu 11.
Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ tâm mặt cầu:
   Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta tính tọa độ trung điểm của A và B:
   $$
   I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right)
   $$
   Thay tọa độ của A và B vào:
   $$
   I\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{0 + 4}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = I(3, 2, 1)
   $$

2. Tính bán kính mặt cầu:
   Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm đến một trong hai điểm A hoặc B. Ta tính khoảng cách từ I đến A:
   $$
   R = IA = \sqrt{(x_I - x_A)^2 + (y_I - y_A)^2 + (z_I - z_A)^2}
   $$
   Thay tọa độ của I và A vào:
   $$
   R = \sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 4 + 9} = \sqrt{17}
   $$

3. Viết phương trình mặt cầu:
   Phương trình mặt cầu có tâm tại $I(3, 2, 1)$ và bán kính $R = \sqrt{17}$ là:
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = (\sqrt{17})^2
   $$
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 17
   $$

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:
$$
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 17
$$

Đáp án đúng là: B. $(x-3)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=17.$

Câu 12.
Để tìm phương trình mặt cầu tâm $ I(2;1;0) $ và đi qua điểm $ A(1;2;3) $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính bán kính của mặt cầu:
   Bán kính $ R $ của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $ I $ đến điểm $ A $. Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
   $$
   R = IA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 1)^2 + (3 - 0)^2}
   $$
   $$
   R = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}
   $$

2. Viết phương trình mặt cầu:
   Phương trình mặt cầu tâm $ I(a,b,c) $ và bán kính $ R $ là:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2
   $$
   Thay $ I(2,1,0) $ và $ R = \sqrt{11} $:
   $$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{11})^2
   $$
   $$
   (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 11
   $$

Do đó, phương trình mặt cầu là:
$$
(S): (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 11
$$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ (S): (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 11 $

Câu 1:
a) Ta thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng (P):
$$ 1 - (-2) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 $$
Vậy điểm A thuộc mặt phẳng (P).

b) Mặt phẳng (P) có phương pháp vuông góc là $\vec{n} = (1, -1, 0)$. Trục Oz có vectơ đơn vị là $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Ta thấy:
$$ \vec{n} \cdot \vec{k} = 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0 $$
Vậy mặt phẳng (P) song song với trục Oz.

c) Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P). Ta cần tìm vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Vectơ AB là:
$$ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - (-2), -3 - 1) = (-1, 3, -4) $$
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n}_P = (1, -1, 0)$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là:
$$ \vec{n}_{\alpha} = \overrightarrow{AB} \times \vec{n}_P = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
-1 & 3 & -4 \
1 & -1 & 0 
\end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 0 - (-4) \cdot (-1)) - \vec{j}((-1) \cdot 0 - (-4) \cdot 1) + \vec{k}((-1) \cdot (-1) - 3 \cdot 1) $$
$$ = \vec{i}(-4) - \vec{j}(4) + \vec{k}(1 - 3) = -4\vec{i} - 4\vec{j} - 2\vec{k} = (-4, -4, -2) $$
Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm A(1, -2, 1) là:
$$ -4(x - 1) - 4(y + 2) - 2(z - 1) = 0 $$
$$ -4x + 4 - 4y - 8 - 2z + 2 = 0 $$
$$ -4x - 4y - 2z - 2 = 0 $$
$$ 2x + 2y + z + 1 = 0 $$
Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là $2x + 2y + z + 1 = 0$, không phải $2x + 2y + z - 1 = 0$.

d) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cách (P) một khoảng bằng $2\sqrt{2}$. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng:
$$ x - y + d = 0 $$
Khoảng cách từ điểm A(1, -2, 1) đến mặt phẳng (P) là:
$$ \frac{|1 - (-2) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 - 3|}{\sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 $$
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Q) là:
$$ \frac{|1 - (-2) + d|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} $$
$$ \frac{|1 + 2 + d|}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} $$
$$ |3 + d| = 4 $$
$$ 3 + d = 4 \text{ hoặc } 3 + d = -4 $$
$$ d = 1 \text{ hoặc } d = -7 $$
Mặt phẳng (Q) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương, tức là:
$$ x - y + 1 = 0 $$
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là $x - y + 1 = 0$.

Đáp án đúng là:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.