Giúp mình với Câu 20. Mặt cầu (S) có tâm $I(-1;2;1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):~x-2y-2z-2=0.$,$A.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=9.$ $B.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9.$,$C.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=3.$ $D.~(x+1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=3.$,$(\alpha).12x-5z-19=0.$

Question

Accepted Answer

Câu 20.
Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm bán kính của mặt cầu (S) trước, sau đó viết phương trình của mặt cầu.

Bước 1: Tìm bán kính của mặt cầu (S).

Mặt cầu (S) có tâm $ I(-1; 2; 1) $ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P): x - 2y - 2z - 2 = 0$. Bán kính $ R $ của mặt cầu là khoảng cách từ tâm $ I $ đến mặt phẳng $(P)$.

Khoảng cách từ điểm $ I(-1; 2; 1) $ đến mặt phẳng $(P)$ được tính bằng công thức:
$$ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$

Trong đó, $ (a, b, c) $ là các hệ số của $ x, y, z $ trong phương trình mặt phẳng, và $ (x_0, y_0, z_0) $ là tọa độ của điểm $ I $.

Áp dụng vào bài toán:
$$ d = \frac{|1 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 + (-2) \cdot 1 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} $$
$$ d = \frac{|-1 - 4 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} $$
$$ d = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} $$
$$ d = \frac{9}{3} = 3 $$

Vậy bán kính $ R $ của mặt cầu là 3.

Bước 2: Viết phương trình của mặt cầu.

Phương trình của mặt cầu có tâm $ I(-1; 2; 1) $ và bán kính $ R = 3 $ là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 3^2 $$
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 $$

Vậy phương trình của mặt cầu là:
$$ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 $$

Đáp án đúng là: A. $ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 $