kkajBnajahha Trong không gian với hệ trục toạ độ,Oxyz cho hình lập phương,ABCD. A'B'C'D' với,$A(0;0;0),~B(7;0;0),~D(0;7;0),$,$A^\prime(0;0;7).$ Gọi K là trung điểm DD .,Khoảng cách giữa hai đường thẳng,CK và A D có dạng $\frac7n,n\in\mathbb Z.$ Tìm,giá trị của n.,Đáp án:,Câu hỏi 22,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục tọa độ,Oxyz, cho bốn điểm,$S(3;4;5),~A(0;0;0),~B(1;0;0),$,Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của,tứ diện SABC. Phương trình mặt,phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạr,$x+by+cz+d=0.$,Tính giá trị $bc+d.$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Câu 22: Khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A'D

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - $ A(0,0,0) $
   - $ B(7,0,0) $
   - $ D(0,7,0) $
   - $ A'(0,0,7) $
   - $ D'(0,7,7) $

2. Tìm tọa độ của K (trung điểm của DD'):
   $$
   K = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{7 + 7}{2}, \frac{0 + 7}{2} \right) = (0, 7, 3.5)
   $$

3. Phương trình đường thẳng CK:
   - Điểm C có tọa độ $ (7, 7, 0) $
   - Vector CK:
     $$
     \overrightarrow{CK} = (0 - 7, 7 - 7, 3.5 - 0) = (-7, 0, 3.5)
     $$
   - Đường thẳng CK có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = 7 - 7t \
     y = 7 \
     z = 3.5t
     \end{cases}
     $$

4. Phương trình đường thẳng A'D:
   - Điểm A' có tọa độ $ (0, 0, 7) $
   - Vector A'D:
     $$
     \overrightarrow{A'D} = (0 - 0, 7 - 0, 0 - 7) = (0, 7, -7)
     $$
   - Đường thẳng A'D có phương trình tham số:
     $$
     \begin{cases}
     x = 0 \
     y = 7s \
     z = 7 - 7s
     \end{cases}
     $$

5. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng:
   - Vector pháp tuyến của hai đường thẳng:
     $$
     \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CK} \times \overrightarrow{A'D} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -7 & 0 & 3.5 \
     0 & 7 & -7
     \end{vmatrix} = (0 \cdot (-7) - 3.5 \cdot 7, 3.5 \cdot 0 - (-7) \cdot (-7), -7 \cdot 7 - 0 \cdot 0) = (-24.5, -49, -49)
     $$
   - Chọn điểm $ P_1 $ trên đường thẳng CK và $ P_2 $ trên đường thẳng A'D:
     $$
     P_1 = (7, 7, 0), \quad P_2 = (0, 0, 7)
     $$
   - Vector $ \overrightarrow{P_1P_2} $:
     $$
     \overrightarrow{P_1P_2} = (0 - 7, 0 - 7, 7 - 0) = (-7, -7, 7)
     $$
   - Khoảng cách $ d $:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{P_1P_2} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|(-7, -7, 7) \cdot (-24.5, -49, -49)|}{\sqrt{(-24.5)^2 + (-49)^2 + (-49)^2}} = \frac{|171.5 + 343 - 343|}{\sqrt{600.25 + 2401 + 2401}} = \frac{171.5}{\sqrt{5402.25}} = \frac{171.5}{73.5} = \frac{7}{3}
     $$

Vậy $ n = 3 $.

Câu 23: Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - $ S(3, 4, 5) $
   - $ A(0, 0, 0) $
   - $ B(1, 0, 0) $
   - $ C(0, 1, 0) $

2. Tìm tọa độ của H (chân đường cao từ S):
   - Mặt phẳng ABC: $ x + y + z = 0 $
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng ABC: $ \overrightarrow{n} = (1, 1, 1) $
   - Đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng ABC:
     $$
     \begin{cases}
     x = 3 + t \
     y = 4 + t \
     z = 5 + t
     \end{cases}
     $$
   - Thay vào phương trình mặt phẳng ABC:
     $$
     (3 + t) + (4 + t) + (5 + t) = 0 \implies 12 + 3t = 0 \implies t = -4
     $$
   - Tọa độ của H:
     $$
     H = (3 - 4, 4 - 4, 5 - 4) = (-1, 0, 1)
     $$

3. Phương trình mặt phẳng đi qua S, B, H:
   - Vector SB:
     $$
     \overrightarrow{SB} = (1 - 3, 0 - 4, 0 - 5) = (-2, -4, -5)
     $$
   - Vector SH:
     $$
     \overrightarrow{SH} = (-1 - 3, 0 - 4, 1 - 5) = (-4, -4, -4)
     $$
   - Vector pháp tuyến của mặt phẳng:
     $$
     \overrightarrow{n'} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SH} = 
     \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -2 & -4 & -5 \
     -4 & -4 & -4
     \end{vmatrix} = (0, 12, -8)
     $$
   - Phương trình mặt phẳng:
     $$
     0(x - 3) + 12(y - 4) - 8(z - 5) = 0 \implies 12y - 48 - 8z + 40 = 0 \implies 12y - 8z - 8 = 0 \implies 3y - 2z - 2 = 0
     $$

Vậy $ b = 3 $, $ c = -2 $, $ d = -2 $, và $ bc + d = 3 \cdot (-2) + (-2) = -6 - 2 = -8 $.

Đáp án: $ n = 3 $ và $ bc + d = -8 $.