jdjdndjxjckcjckcmcmcmcmc ĐỀ ÔN TẬP CHƯƠNG V-SỐ 1,PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN,Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.,Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng $(P):~2x-4y+3z-9=0.$ Vectơ nào dưới,đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?,$A.~\overrightarrow{n_1}=(2;4;3).$ $B.~\overrightarrow{n_4}=(-4;3;-9).$ $C.~\overrightarrow{n_2}=(2;-4;3).$ $D.~\overrightarrow{n_j}=(2;-4;9)$,Câu 2. Trong không gian Oxyz , đường thẳng $d:~\frac{x+1}2=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}2$ đi qua điểm nào dưới đây?,$A.~M(1;-2;3).$ $B.~N(-1;2;-3).$ $C.~P(1;2;3).$ $D.~Q(-2;1;-2).$,Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0.$,Tâm của (S) có tọa độ là,$A.~(-1;2;-3).$ $B.~(1;-2;3).$ $C.~(-1;-2;-3).$ $D.~(1;2;3).$,Câu 4. Trong không gian Oxyz, góc giữa hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{-2}=\frac{y+2}1=\frac{z-3}{-2}$ và đường thẳng,$d_2:\frac{x+3}1=\frac{y-1}1=\frac{z+2}4$ là:,$A.~45^0.$ $B.~30^0.$ $C.~60^0.$ $D.~75^0.$,Câu 5. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) cho bởi,các phương trình sau đây: $2x+2y-z+5=0$ và $2x+2y-z-4=0.$,A. 5. B. 2. C. 4. D. 3.,Câu 6. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $M(3;0;0),~N(2;-2;2).$ Mặt phẳng (P),chứa M,N và cắt hai trục Oy,Oz lần lượt tại $B(0;-3;0),~C(0;0;c)$ với $c
e0.$ Khi đó giá trị của c là:,A. 6. $B.~(0;0;6).$ C. -6. $D.~(0;0;-6).$,Câu 7. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm $I(0;0;2)$ và đi qua điểm $M(1;3;-1)$ có phương trình là,$A.~x^2+y^2+(z-2)^2=64.$ $B.~x^2+y^2+(z-2)^2=14.$,$C.~x^2+y^2+(z-2)^2=8.$ $D.~x^2+y^2+(z-2)^2=19.$,Câu 8. Cho các đường thẳng $d_1:\frac{x-2}2=\frac{y+1}2=\frac z{-3}$ và đường thẳng $d_2:\frac{x-2}1=\frac y2=\frac{z+3}2.$ Phương trình,đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;0;2),$ cắt $d_1$ và vuông góc với $d_2$ là,$A.~\Delta:\frac{x-1}1=\frac y{-1}=\frac{z-2}{-1}.$ $B.~\Delta:\frac{x-1}1=\frac{y-1}2=\frac z{-1}.$,$C.~\Delta:\frac{x-1}{-1}=\frac y2=\frac{z-2}2.$ D. Không tồn tại A,Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng chéo nhau $d_1:\frac{x-2}2=\frac{y-6}{-2}=\frac{z+2}1$ và,$d_2:\frac{x-4}1=\frac{y+1}3=\frac{z+2}{-2}.$ Phương trình mặt phẳng (P) chứa $d_1$ và song song với đường,thẳng $d_2$ là,$A.~x+3y-z-16=0.$ $B.~x+5y+8z+16=0.$,$C.~x+3y-z+16=0.$ $D.~x+5y+8z-16=0.$,1

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng $(P):~2x-4y+3z-9=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có dạng $(A, B, C)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $(2, -4, 3)$.

Ta kiểm tra các đáp án:
- Đáp án A: $\overrightarrow{n_1} = (2, 4, 3)$
- Đáp án B: $\overrightarrow{n_4} = (-4, 3, -9)$
- Đáp án C: $\overrightarrow{n_2} = (2, -4, 3)$
- Đáp án D: $\overrightarrow{n_j} = (2, -4, 9)$

Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án C đúng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

Vậy đáp án đúng là:
C. $\overrightarrow{n_2} = (2, -4, 3)$.

Câu 2.
Để kiểm tra xem đường thẳng $ d: \frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z+3}{2} $ đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình của đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không.

A. Điểm $ M(1, -2, 3) $:
Thay $ x = 1 $, $ y = -2 $, $ z = 3 $ vào phương trình:
$$ \frac{1 + 1}{2} = \frac{-2 - 2}{-1} = \frac{3 + 3}{2} $$
$$ \frac{2}{2} = \frac{-4}{-1} = \frac{6}{2} $$
$$ 1 = 4 = 3 $$ (không thỏa mãn)

B. Điểm $ N(-1, 2, -3) $:
Thay $ x = -1 $, $ y = 2 $, $ z = -3 $ vào phương trình:
$$ \frac{-1 + 1}{2} = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{-3 + 3}{2} $$
$$ \frac{0}{2} = \frac{0}{-1} = \frac{0}{2} $$
$$ 0 = 0 = 0 $$ (thỏa mãn)

C. Điểm $ P(1, 2, 3) $:
Thay $ x = 1 $, $ y = 2 $, $ z = 3 $ vào phương trình:
$$ \frac{1 + 1}{2} = \frac{2 - 2}{-1} = \frac{3 + 3}{2} $$
$$ \frac{2}{2} = \frac{0}{-1} = \frac{6}{2} $$
$$ 1 = 0 = 3 $$ (không thỏa mãn)

D. Điểm $ Q(-2, 1, -2) $:
Thay $ x = -2 $, $ y = 1 $, $ z = -2 $ vào phương trình:
$$ \frac{-2 + 1}{2} = \frac{1 - 2}{-1} = \frac{-2 + 3}{2} $$
$$ \frac{-1}{2} = \frac{-1}{-1} = \frac{1}{2} $$
$$ -\frac{1}{2} = 1 = \frac{1}{2} $$ (không thỏa mãn)

Như vậy, chỉ có điểm $ N(-1, 2, -3) $ thỏa mãn phương trình của đường thẳng $ d $.

Đáp án đúng là: B. $ N(-1, 2, -3) $.

Câu 3.
Để tìm tâm của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết lại phương trình mặt cầu dưới dạng tổng bình phương:
$$
x^2 - 2x + y^2 + 4y + z^2 - 6z = 2
$$

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho mỗi biến:
$$
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 6z + 9) = 2 + 1 + 4 + 9
$$
$$
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = 16
$$

Bước 3: So sánh với phương trình chuẩn của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta nhận thấy tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$.

Từ phương trình trên, ta thấy tâm của mặt cầu là $(1, -2, 3)$.

Vậy đáp án đúng là:
B. $(1, -2, 3)$.

Câu 4.
Để tìm góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $, ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng.

Vector chỉ phương của đường thẳng $ d_1 $ là:
$$ \vec{u}_1 = (-2, 1, -2) $$

Vector chỉ phương của đường thẳng $ d_2 $ là:
$$ \vec{u}_2 = (1, 1, 4) $$

Góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là góc giữa hai vector chỉ phương $ \vec{u}_1 $ và $ \vec{u}_2 $. Ta tính tích vô hướng của hai vector này:
$$ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-2) \cdot 4 = -2 + 1 - 8 = -9 $$

Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vector:
$$ |\vec{u}_1| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 $$
$$ |\vec{u}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$

Tích vô hướng của hai vector cũng có thể được viết dưới dạng:
$$ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = |\vec{u}_1| |\vec{u}_2| \cos \theta $$

Do đó:
$$ -9 = 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos \theta $$
$$ -9 = 9\sqrt{2} \cdot \cos \theta $$
$$ \cos \theta = \frac{-9}{9\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Góc $ \theta $ có giá trị:
$$ \theta = \cos^{-1}\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 135^\circ $$

Tuy nhiên, góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhỏ hơn hoặc bằng 90°. Do đó, góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là:
$$ 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ $$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $ d_1 $ và $ d_2 $ là $ 45^\circ $.

Đáp án đúng là: A. $ 45^\circ $

Câu 5.
Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$, ta sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Công thức khoảng cách từ một điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0$ là:
$$ d(M, (\alpha)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $$

Trước tiên, ta chọn một điểm thuộc mặt phẳng $(P)$. Chọn điểm $M(0, 0, 5)$ (vì thay vào phương trình $2x + 2y - z + 5 = 0$ ta có $2(0) + 2(0) - 5 + 5 = 0$, thỏa mãn).

Bây giờ, ta tính khoảng cách từ điểm $M(0, 0, 5)$ đến mặt phẳng $(Q): 2x + 2y - z - 4 = 0$.

Áp dụng công thức:
$$ d(M, (Q)) = \frac{|2(0) + 2(0) - 1(5) - 4|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} $$
$$ d(M, (Q)) = \frac{|0 + 0 - 5 - 4|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} $$
$$ d(M, (Q)) = \frac{|-9|}{\sqrt{9}} $$
$$ d(M, (Q)) = \frac{9}{3} $$
$$ d(M, (Q)) = 3 $$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ là 3.

Đáp án đúng là: D. 3.

Câu 6.
Để tìm giá trị của $ c $, ta cần xác định phương trình của mặt phẳng (P) đi qua các điểm $ M(3;0;0) $, $ N(2;-2;2) $, $ B(0;-3;0) $, và $ C(0;0;c) $.

Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
- Vectơ $ \overrightarrow{MN} = (2-3, -2-0, 2-0) = (-1, -2, 2) $
- Vectơ $ \overrightarrow{MB} = (0-3, -3-0, 0-0) = (-3, -3, 0) $

Vectơ pháp tuyến $ \vec{n} $ của mặt phẳng (P) là tích có hướng của $ \overrightarrow{MN} $ và $ \overrightarrow{MB} $:
$$ 
\vec{n} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
-1 & -2 & 2 \
-3 & -3 & 0
\end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(0) - (2)(-3)) - \vec{j}((-1)(0) - (2)(-3)) + \vec{k}((-1)(-3) - (-2)(-3))
= \vec{i}(0 + 6) - \vec{j}(0 + 6) + \vec{k}(3 - 6)
= 6\vec{i} - 6\vec{j} - 3\vec{k}
$$

Do đó, vectơ pháp tuyến $ \vec{n} = (6, -6, -3) $.

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng có dạng:
$$ 
6(x - 3) - 6(y - 0) - 3(z - 0) = 0 
$$
$$ 
6x - 18 - 6y - 3z = 0 
$$
$$ 
6x - 6y - 3z = 18 
$$
$$ 
2x - 2y - z = 6 
$$

Bước 3: Thay tọa độ điểm $ C(0;0;c) $ vào phương trình mặt phẳng để tìm $ c $:
$$ 
2(0) - 2(0) - c = 6 
$$
$$ 
-c = 6 
$$
$$ 
c = -6 
$$

Vậy giá trị của $ c $ là $-6$.

Đáp án đúng là: C. -6.

Câu 7.
Để tìm phương trình mặt cầu, ta cần biết tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu.

Bước 1: Xác định tâm mặt cầu:
Tâm mặt cầu là $ I(0;0;2) $.

Bước 2: Tính bán kính mặt cầu:
Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm $ I $ đến điểm $ M $. Ta tính khoảng cách này bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
$$ 
IM = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}
$$

Bước 3: Viết phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu có tâm $ I(a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:
$$ 
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 
$$
Áp dụng vào bài toán, ta có:
$$ 
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{19})^2 
$$
$$ 
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 19 
$$

Vậy phương trình mặt cầu là:
$$ 
x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 19 
$$

Đáp án đúng là: D. $ x^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 19 $

Câu 8.
Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1;0;2)$, cắt đường thẳng $d_1$ và vuông góc với đường thẳng $d_2$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:
   - Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (2, 2, -3)$.
   - Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (1, 2, 2)$.

2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$:
   - Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = (a, b, c)$.
   - Vì $\Delta$ vuông góc với $d_2$, ta có:
     $$
     \vec{u} \cdot \vec{u}_2 = 0 \implies a + 2b + 2c = 0.
     $$

3. Tìm giao điểm của $\Delta$ với $d_1$:
   - Gọi giao điểm của $\Delta$ với $d_1$ là $M(x_0, y_0, z_0)$.
   - Đường thẳng $d_1$ có phương trình tham số:
     $$
     x = 2 + 2t, \quad y = -1 + 2t, \quad z = -3t.
     $$
   - Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(1, 0, 2)$ và có vectơ chỉ phương $(a, b, c)$, phương trình tham số của $\Delta$ là:
     $$
     x = 1 + as, \quad y = bs, \quad z = 2 + cs.
     $$
   - Để $\Delta$ cắt $d_1$ tại điểm $M$, ta có:
     $$
     1 + as = 2 + 2t, \quad bs = -1 + 2t, \quad 2 + cs = -3t.
     $$

4. Giải hệ phương trình để tìm $s$ và $t$:
   - Từ phương trình thứ nhất:
     $$
     as = 1 + 2t.
     $$
   - Từ phương trình thứ hai:
     $$
     bs = -1 + 2t.
     $$
   - Từ phương trình thứ ba:
     $$
     cs = -3t - 2.
     $$

5. Thay vào phương trình vuông góc:
   - Ta có:
     $$
     a + 2b + 2c = 0.
     $$
   - Thay $as = 1 + 2t$, $bs = -1 + 2t$, $cs = -3t - 2$ vào phương trình vuông góc:
     $$
     a + 2b + 2c = 0.
     $$

6. Kiểm tra các đáp án:
   - Đáp án A: $\Delta: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-2}{-1}$.
     - Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1, -1, -1)$.
     - Kiểm tra điều kiện vuông góc:
       $$
       1 + 2(-1) + 2(-1) = 1 - 2 - 2 = -3 \neq 0.
       $$
     - Đáp án này sai.

- Đáp án B: $\Delta: \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1}$.
     - Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(1, 2, -1)$.
     - Kiểm tra điều kiện vuông góc:
       $$
       1 + 2(2) + 2(-1) = 1 + 4 - 2 = 3 \neq 0.
       $$
     - Đáp án này sai.

- Đáp án C: $\Delta: \frac{x-1}{-1} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{2}$.
     - Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $(-1, 2, 2)$.
     - Kiểm tra điều kiện vuông góc:
       $$
       -1 + 2(2) + 2(2) = -1 + 4 + 4 = 7 \neq 0.
       $$
     - Đáp án này sai.

- Đáp án D: Không tồn tại.
     - Do các kiểm tra trên đều sai, nên không tồn tại đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy đáp án đúng là: D. Không tồn tại.

Câu 9.
Để tìm phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ và song song với đường thẳng $d_2$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của các đường thẳng $d_1$ và $d_2$:
- Đường thẳng $d_1$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_1 = (2, -2, 1)$.
- Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2 = (1, 3, -2)$.

Bước 2: Tìm điểm thuộc đường thẳng $d_1$. Ta chọn điểm $A(2, 6, -2)$.

Bước 3: Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d_1$ và song song với đường thẳng $d_2$, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ vuông góc với cả $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$. Ta tính vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng $(P)$ bằng cách lấy tích vector của $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$:
$$
\vec{n} = \vec{u}_1 \times \vec{u}_2 = 
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
2 & -2 & 1 \
1 & 3 & -2
\end{vmatrix}
= \vec{i}((-2)(-2) - (1)(3)) - \vec{j}((2)(-2) - (1)(1)) + \vec{k}((2)(3) - (-2)(1))
= \vec{i}(4 - 3) - \vec{j}(-4 - 1) + \vec{k}(6 + 2)
= \vec{i}(1) - \vec{j}(-5) + \vec{k}(8)
= (1, 5, 8)
$$

Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2, 6, -2)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (1, 5, 8)$:
$$
1(x - 2) + 5(y - 6) + 8(z + 2) = 0
$$
$$
x - 2 + 5y - 30 + 8z + 16 = 0
$$
$$
x + 5y + 8z - 16 = 0
$$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$$
x + 5y + 8z - 16 = 0
$$

Đáp án đúng là: D. $x + 5y + 8z - 16 = 0$.