Jdjđksksjsdjskskssjjsjđjđk Thanh niên với,

"Cho 1(2;1;3), B(3;-1;1); C(0;2;-5), D(-1;1;1) | (2) cho
a) Viết ptts đt s qua A và có VTCP BC.
b) Viết ptmp (ABC).
c) Viết ptmcần tâm B, bk AC.
d) Tính d(D, (ABC)).
e). Tính",

Question

Jdjđksksjsdjskskssjjsjđjđk Thanh niên với,

"Cho 1(2;1;3), B(3;-1;1); C(0;2;-5), D(-1;1;1) | (2) cho 
 a) Viết ptts đt s qua A và có VTCP BC. 
 b) Viết ptmp (ABC). 
 c) Viết ptmcần tâm B, bk AC. 
 d) Tính d(D, (ABC)). 
 e). Tính",

Accepted Answer

a) Ta có $\overrightarrow{BC} = (-3; 3; -6)$

Phương trình tham số của đường thẳng qua A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}$ là:
$$
\begin{cases}
x = 2 - 3t \
y = 1 + 3t \
z = 3 - 6t
\end{cases}
$$

b) Ta có $\overrightarrow{AB} = (1; -2; -2)$ và $\overrightarrow{AC} = (-2; 1; -8)$

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (14; -12; -3)$

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:
$$ 
14(x - 2) - 12(y - 1) - 3(z - 3) = 0 
$$
$$ 
14x - 28 - 12y + 12 - 3z + 9 = 0 
$$
$$ 
14x - 12y - 3z - 7 = 0 
$$

c) Ta tính khoảng cách AC:
$$ 
AC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-2)^2 + (3+5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 64} = \sqrt{69} 
$$

Phương trình mặt cầu tâm B, bán kính AC là:
$$ 
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 69 
$$

d) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC):
$$ 
d(D, (ABC)) = \frac{|14(-1) - 12(1) - 3(1) - 7|}{\sqrt{14^2 + (-12)^2 + (-3)^2}} = \frac{|-14 - 12 - 3 - 7|}{\sqrt{196 + 144 + 9}} = \frac{36}{\sqrt{349}} 
$$

e) Thể tích khối tứ diện ABCD:
$$ 
V_{ABCD} = \frac{1}{6} |\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})| 
$$

Ta tính $\overrightarrow{AD} = (-3; 0; -2)$

Tích vector $\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}$:
$$ 
\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & 1 & -8 \
-3 & 0 & -2
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-2) - (-8) \cdot 0) - \mathbf{j}((-2) \cdot (-2) - (-8) \cdot (-3)) + \mathbf{k}((-2) \cdot 0 - 1 \cdot (-3))
$$
$$ 
= \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(4 - 24) + \mathbf{k}(3) = -2\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 3\mathbf{k} 
$$

Sau đó ta tính $\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})$:
$$ 
\overrightarrow{AB} \cdot (-2\mathbf{i} + 20\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) = (1, -2, -2) \cdot (-2, 20, 3) = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 20 + (-2) \cdot 3 = -2 - 40 - 6 = -48 
$$

Thể tích khối tứ diện:
$$ 
V_{ABCD} = \frac{1}{6} |-48| = \frac{48}{6} = 8 
$$

Đáp số:
a) $\begin{cases}
x = 2 - 3t \
y = 1 + 3t \
z = 3 - 6t
\end{cases}$

b) $14x - 12y - 3z - 7 = 0$

c) $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 69$

d) $\frac{36}{\sqrt{349}}$

e) $8$