Hay giai bai tap Câu hỏi 10,Chọn đáp án đúng.,Cho hình hộp ABCD .AABBCCD' . Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a,\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b,\overrightarrow{AA^\prime}=\overrightarrow c.$ Gọi I là tâm của đáy A B'C D . Mệnh đề nào sau,đây đúng?,$A.~\overrightarrow{BI}=\frac12\overrightarrow a-\frac12\overrightarrow b+\frac12\overrightarrow c$ $B.~\overrightarrow{BI}=-\frac12\overrightarrow a+\frac12\overrightarrow b+\overrightarrow c$,$C.~\overrightarrow{BI}=-\overrightarrow a+2\overrightarrow b+\overrightarrow c$ $D.~\overrightarrow{BI}=\overrightarrow a-\frac12\overrightarrow b+\frac12\overrightarrow c$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm vector $\overrightarrow{BI}$ dựa trên các vector đã cho và vị trí của điểm I.

Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm I. Vì I là tâm của đáy A'B'C'D', nên I nằm ở trung điểm của đường chéo A'C' hoặc B'D'. Ta có thể viết vector $\overrightarrow{A'I}$ như sau:
$$ \overrightarrow{A'I} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A'C'}) $$

Ta biết rằng:
$$ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{B'C'} $$
$$ \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} $$
$$ \overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b} $$

Do đó:
$$ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} $$
$$ \overrightarrow{A'I} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) $$

Tiếp theo, ta tìm vector $\overrightarrow{BI}$ bằng cách sử dụng quy tắc tam giác:
$$ \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AI} $$

Ta biết rằng:
$$ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a} $$
$$ \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'I} = \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) $$

Do đó:
$$ \overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{a} + \left( \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \right) $$
$$ \overrightarrow{BI} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} + \frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} $$
$$ \overrightarrow{BI} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} $$

Vậy, mệnh đề đúng là:
B. $~\overrightarrow{BI} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Đáp án: B. $~\overrightarrow{BI} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{a} + \frac{1}{2}\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$