hsjuahajush Câu hỏi 18,Điền đáp án thích hợp vào ô trống.,Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên ]R và thỏa mãn,$+)~f(x)

Question

hsjuahajush Câu hỏi 18,Điền đáp án thích hợp vào ô trống.,Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên ]R và thỏa mãn,$+)~f(x)<0,~\forall x\in\mathbb R,$,$+)~f^\prime(x)=f(x),~\forall x\in\mathbb R,$,$+)~f(0)=-1.$,Biết rằng $\int^2_1f(x)dx=e^a-e^b.$,Tính hiệu a,Đáp án:

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số $ f(x) $:
   - Ta biết rằng $ f'(x) = f(x) $. Điều này cho thấy hàm số $ f(x) $ có dạng $ f(x) = Ce^x $ (với $ C $ là hằng số).
   - Ta cũng biết rằng $ f(0) = -1 $. Thay vào ta có:
     $$
     f(0) = Ce^0 = C = -1
     $$
   - Vậy hàm số $ f(x) $ là:
     $$
     f(x) = -e^x
     $$

2. Tính tích phân $ \int_{1}^{2} f(x) \, dx $:
   - Thay $ f(x) = -e^x $ vào tích phân:
     $$
     \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} (-e^x) \, dx
     $$
   - Tính tích phân:
     $$
     \int_{1}^{2} (-e^x) \, dx = -\left[ e^x \right]_{1}^{2} = -(e^2 - e^1) = -e^2 + e
     $$
   - Ta có:
     $$
     \int_{1}^{2} f(x) \, dx = e - e^2
     $$

3. So sánh với $ e^a - e^b $:
   - Ta biết rằng:
     $$
     \int_{1}^{2} f(x) \, dx = e^a - e^b
     $$
   - Do đó:
     $$
     e - e^2 = e^a - e^b
     $$
   - So sánh hai vế, ta nhận thấy rằng:
     $$
     e^a = e \quad \text{và} \quad e^b = e^2
     $$
   - Từ đó suy ra:
     $$
     a = 1 \quad \text{và} \quad b = 2
     $$

4. Tính hiệu $ a - b $:
   - Ta có:
     $$
     a - b = 1 - 2 = -1
     $$

Vậy hiệu $ a - b $ là $-1$.

Đáp án: $-1$