giúp mình làm với Câu hỏi 21,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục toạ độ,Oxyz cho hình lập phương,$ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ với,$A(0;0;0),~B(2;0;0),~D(0;2;0),$,$A^\prime(0;0;2).$ Gọi K là trung điểm DD .,Khoảng cách giữa hai đường thẳng,CK và A D có dạng $\frac2n,n\in\mathbb Z.$ Tìm,giá trị của n.,Đáp án:

Question

Accepted Answer

Ta có tọa độ các điểm:
$A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $D(0,2,0)$, $A'(0,0,2)$, $D'(0,2,2)$, $C(2,2,0)$

K là trung điểm cuả DD' => $K(0,2,1)$.

$\overrightarrow{CK} = (-2,0,1)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $CK$.

Phương trình tham số của $CK$:

$CK: \begin{cases} x = 2 - 2t \ y = 2 \ z = t \end{cases}$

$\overrightarrow{A'D} = (0,2,-2)$ là vectơ chỉ phương của đt $A'D$.

Phương trình tham số của đt $A'D$:
$A'D: \begin{cases} x = 0 \ y = 2s \ z = 2 - 2s \end{cases}$

Gọi $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mp $(A'D, CK)$.

$\overrightarrow{n} = [\overrightarrow{CK}, \overrightarrow{A'D}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ -2 & 0 & 1 \ 0 & 2 & -2 \end{vmatrix} = (-2, 4, -4)$

Chọn $\overrightarrow{n} = (1, -2, 2)$.

Ptmt $(A'D, CK)$ qua $K(0,2,1)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -2, 2)$ là:

$1(x-0) - 2(y-2) + 2(z-1) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2z + 2 = 0$

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng $(A'D, CK)$:
$d(A, (A'D, CK)) = \frac{|0 - 2(0) + 2(0) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$

Ta có khoảng cách giữa $CK$ và $A'D$ là $\frac{2}{3}$.

Đáp số: $n=3$