giải ho kinh Câu hói 22,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục tọa độ,Oxyz, cho bốn điểm,$S(4;1;3),~A(0;0;1),~B(2;0;5),~C(($,Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của,tứ diện SABC. Phương trình mặt,phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạng,$x+by+cz+d=0.$,Tính giá trị $bc+d.$,Đáp án:

Question

giải  ho kinh Câu hói 22,Điền đáp án thích hợp vào ô trống,Trong không gian với hệ trục tọa độ,Oxyz, cho bốn điểm,$S(4;1;3),~A(0;0;1),~B(2;0;5),~C(($,Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của,tứ diện SABC. Phương trình mặt,phẳng đi qua ba điểm S, B, H có dạng,$x+by+cz+d=0.$,Tính giá trị $bc+d.$,Đáp án:

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC).
2. Xác định phương trình đường thẳng SH.
3. Tìm tọa độ của điểm H.
4. Xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H.
5. Tính giá trị của $ bc + d $.

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC).

Vectơ SB = B - S = (2 - 4, 0 - 1, 5 - 3) = (-2, -1, 2)
Vectơ SC = C - S = (0 - 4, 3 - 1, 1 - 3) = (-4, 2, -2)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC) là:
$$ \vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
-2 & -1 & 2 \
-4 & 2 & -2
\end{vmatrix} = \vec{i}(2) - \vec{j}(0) + \vec{k}(-8) = (2, 0, -8) $$

Bước 2: Xác định phương trình đường thẳng SH.

Đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (SBC), do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng SH. Phương trình tham số của đường thẳng SH là:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
x = 4 + 2t \
y = 1 \
z = 3 - 8t
\end{array}
\right. $$

Bước 3: Tìm tọa độ của điểm H.

Điểm H nằm trên cả đường thẳng SH và mặt phẳng (SBC). Mặt phẳng (SBC) có phương trình:
$$ 2(x - 2) + 0(y - 0) - 8(z - 5) = 0 $$
$$ 2x - 8z + 36 = 0 $$

Thay tọa độ của điểm H vào phương trình mặt phẳng (SBC):
$$ 2(4 + 2t) - 8(3 - 8t) + 36 = 0 $$
$$ 8 + 4t - 24 + 64t + 36 = 0 $$
$$ 68t + 20 = 0 $$
$$ t = -\frac{20}{68} = -\frac{5}{17} $$

Tọa độ của điểm H là:
$$ x_H = 4 + 2 \left( -\frac{5}{17} \right) = 4 - \frac{10}{17} = \frac{68 - 10}{17} = \frac{58}{17} $$
$$ y_H = 1 $$
$$ z_H = 3 - 8 \left( -\frac{5}{17} \right) = 3 + \frac{40}{17} = \frac{51 + 40}{17} = \frac{91}{17} $$

Bước 4: Xác định phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H.

Vectơ SB = (-2, -1, 2)
Vectơ SH = (H - S) = \left( \frac{58}{17} - 4, 1 - 1, \frac{91}{17} - 3 \right) = \left( \frac{58 - 68}{17}, 0, \frac{91 - 51}{17} \right) = \left( -\frac{10}{17}, 0, \frac{40}{17} \right)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là:
$$ \vec{n'} = \vec{SB} \times \vec{SH} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
-2 & -1 & 2 \
-\frac{10}{17} & 0 & \frac{40}{17}
\end{vmatrix} = \vec{i} \left( -1 \cdot \frac{40}{17} - 2 \cdot 0 \right) - \vec{j} \left( -2 \cdot \frac{40}{17} - 2 \cdot -\frac{10}{17} \right) + \vec{k} \left( -2 \cdot 0 - (-1) \cdot -\frac{10}{17} \right) $$
$$ = \vec{i} \left( -\frac{40}{17} \right) - \vec{j} \left( -\frac{80}{17} + \frac{20}{17} \right) + \vec{k} \left( -\frac{10}{17} \right) $$
$$ = \left( -\frac{40}{17}, \frac{60}{17}, -\frac{10}{17} \right) $$

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là:
$$ -\frac{40}{17}(x - 4) + \frac{60}{17}(y - 1) - \frac{10}{17}(z - 3) = 0 $$
$$ -40(x - 4) + 60(y - 1) - 10(z - 3) = 0 $$
$$ -40x + 160 + 60y - 60 - 10z + 30 = 0 $$
$$ -40x + 60y - 10z + 130 = 0 $$
$$ 4x - 6y + z - 13 = 0 $$

Bước 5: Tính giá trị của $ bc + d $.

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm S, B, H là:
$$ 4x - 6y + z - 13 = 0 $$

So sánh với phương trình $ x + by + cz + d = 0 $, ta có:
$$ b = -6, \quad c = 1, \quad d = -13 $$

Giá trị của $ bc + d $ là:
$$ bc + d = (-6) \cdot 1 + (-13) = -6 - 13 = -19 $$

Đáp án: $-19$