Giúp t vớiii ạa Điền đáp án thích hợp vào ô trống.,$y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn,Cho hàm số,$+)~f(x)

Question

Giúp t vớiii ạa Điền đáp án thích hợp vào ô trống.,$y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb R$ và thỏa mãn,Cho hàm số,$+)~f(x)<0,~\forall x\in\mathbb R,$,$+)~f^\prime(x)=f(x),~\forall x\in\mathbb R,$,$+)~f(0)=-1.$,Biết rằng $\int^2_1f(x)dx=e^a-e^b.$,Tính hiệu $a-b.$,Đáp án:

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số $ f(x) $ dựa trên các điều kiện đã cho.
2. Tính tích phân $ \int_{1}^{2} f(x) \, dx $.
3. So sánh kết quả với $ e^a - e^b $ để tìm $ a $ và $ b $.
4. Tính hiệu $ a - b $.

Bước 1: Xác định hàm số $ f(x) $

Ta biết rằng:
- $ f'(x) = f(x) $
- $ f(0) = -1 $

Phương trình vi phân $ f'(x) = f(x) $ có nghiệm tổng quát là $ f(x) = Ce^x $, trong đó $ C $ là hằng số.

Áp dụng điều kiện ban đầu $ f(0) = -1 $:
$$ f(0) = Ce^0 = C = -1 $$

Vậy hàm số $ f(x) $ là:
$$ f(x) = -e^x $$

Bước 2: Tính tích phân $ \int_{1}^{2} f(x) \, dx $

$$ \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} (-e^x) \, dx $$
$$ = -\int_{1}^{2} e^x \, dx $$
$$ = -[e^x]_{1}^{2} $$
$$ = -(e^2 - e^1) $$
$$ = -e^2 + e $$
$$ = e - e^2 $$

Bước 3: So sánh kết quả với $ e^a - e^b $

Ta có:
$$ e - e^2 = e^a - e^b $$

So sánh hai vế, ta nhận thấy:
$$ e^a = e \quad \text{và} \quad e^b = e^2 $$

Do đó:
$$ a = 1 \quad \text{và} \quad b = 2 $$

Bước 4: Tính hiệu $ a - b $

$$ a - b = 1 - 2 = -1 $$

Đáp án: $\Box -1$