Giúp mình với! Chứng minh rằng số cách phân tích n thành tổng của các số tự nhiên thỏa mãn:,$p(n)\leq e^{\pi\sqrt{\frac{2n}3}}$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng số cách phân tích $ n $ thành tổng của các số tự nhiên thỏa mãn $ p(n) \leq e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $, chúng ta sẽ sử dụng công thức của Hardy-Ramanujan để ước lượng $ p(n) $.

Công thức của Hardy-Ramanujan cho biết:
$$ p(n) \approx \frac{1}{4n \sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$

Từ công thức này, ta thấy rằng $ p(n) $ tăng rất nhanh theo $ n $. Để chứng minh $ p(n) \leq e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $, ta chỉ cần nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{4n \sqrt{3}} < 1 $$
vì $ n $ là số tự nhiên dương.

Do đó:
$$ p(n) \approx \frac{1}{4n \sqrt{3}} e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} < e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
$$ p(n) \leq e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $$

Đáp số: $ p(n) \leq e^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}} $