giúp em giải bài toán

Bài 1: Gọi số thứ nhất là $a$, số thứ hai là $b$. Ta có: $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$ hay $a=\frac{3}{5}\times b$ Thương thứ nhất là $\frac{a}{9}$ Thương thứ hai là $\frac{b}{6}$ Theo đề bài ta có: $\frac{b}{6}-\frac{a}{9}=3$ Thay $a=\frac{3}{5}\times b$ vào ta được: $\frac{b}{6}-\frac{\frac{3}{5}\times b}{9}=3$ $\frac{b}{6}-\frac{b}{15}=3$ $\frac{3}{30}\times b=3$ $b=30$ $a=\frac{3}{5}\times 30=18$ Vậy hai số cần tìm là 18 và 30. Bài 2: Gọi vận tốc ban đầu của xe máy là \( v_{\text{ban đầu}} \) và thời gian xe máy chạy trước là \( t_{\text{trước}} \). Khi xe máy chạy được \(\frac{2}{3}\) quãng đường AB, vận tốc của xe máy giảm xuống còn 27,5 km/h. Khi đó, ô tô đã đuổi kịp xe máy khi còn cách B 124 km. Ta có: - Vận tốc ban đầu của xe máy: \( v_{\text{ban đầu}} = 55 \) km/h - Vận tốc sau khi giảm: \( v_{\text{giảm}} = 27,5 \) km/h - Vận tốc của ô tô: \( v_{\text{ô tô}} = 62 \) km/h Khi xe máy chạy được \(\frac{2}{3}\) quãng đường AB, khoảng cách còn lại là \(\frac{1}{3}\) quãng đường AB. Khi đó, ô tô đã đuổi kịp xe máy khi còn cách B 124 km, tức là khoảng cách còn lại là 124 km. Gọi quãng đường AB là \( d \) km. Khi xe máy chạy được \(\frac{2}{3}d\) km, khoảng cách còn lại là \(\frac{1}{3}d\) km. Khi đó, ô tô đã đuổi kịp xe máy khi còn cách B 124 km, tức là khoảng cách còn lại là 124 km. Do đó, ta có: \[ \frac{1}{3}d = 124 \] Giải phương trình này: \[ d = 124 \times 3 = 372 \] Vậy quãng đường AB là 372 km. Đáp số: 372 km. Bài 3: Gọi vận tốc người đi xe đạp từ A đến B là $v_{1}$ với thời gian là $t_{1}$ giờ. Gọi vận tốc người đi xe đạp từ B về A là $v_{2}$ với thời gian là $t_{2}$ giờ. Vì thời gian về lâu hơn thời gian đi là 30 phút, nên ta có: \[ t_{2} = t_{1} + \frac{1}{2} \] Quãng đường AB là: \[ AB = v_{1} \times t_{1} = v_{2} \times t_{2} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 15 \times t_{1} = 12 \times (t_{1} + \frac{1}{2}) \] Mở ngoặc và giải phương trình: \[ 15t_{1} = 12t_{1} + 6 \] \[ 15t_{1} - 12t_{1} = 6 \] \[ 3t_{1} = 6 \] \[ t_{1} = 2 \text{ (giờ)} \] Quãng đường AB là: \[ AB = 15 \times 2 = 30 \text{ (km)} \] Đáp số: 30 km Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các đại lượng đã biết và chưa biết - Thời gian canô đi từ A đến B: 3 giờ 20 phút = 3 + $\frac{20}{60}$ = 3 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{10}{3}$ giờ. - Thời gian ô tô đi từ A đến B: 2 giờ. - Vận tốc của canô nhỏ hơn vận tốc của ô tô là 17 km/h. - Độ dài đoạn đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ là 10 km. Bước 2: Gọi ẩn và đặt điều kiện Gọi vận tốc của canô là \( v_c \) (km/h), điều kiện: \( v_c > 0 \). Vận tốc của ô tô là \( v_o \) (km/h), điều kiện: \( v_o > 0 \). Biết rằng \( v_o = v_c + 17 \). Bước 3: Xây dựng phương trình - Độ dài đoạn đường sông từ A đến B là \( d_s = v_c \times \frac{10}{3} \). - Độ dài đoạn đường bộ từ A đến B là \( d_b = v_o \times 2 \). Theo đề bài, đoạn đường sông ngắn hơn đoạn đường bộ 10 km: \[ d_b = d_s + 10 \] Thay các biểu thức của \( d_s \) và \( d_b \): \[ v_o \times 2 = v_c \times \frac{10}{3} + 10 \] Bước 4: Thay \( v_o = v_c + 17 \) vào phương trình \[ (v_c + 17) \times 2 = v_c \times \frac{10}{3} + 10 \] Bước 5: Giải phương trình Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ 3 \times (v_c + 17) \times 2 = 3 \times v_c \times \frac{10}{3} + 3 \times 10 \] \[ 6(v_c + 17) = 10v_c + 30 \] \[ 6v_c + 102 = 10v_c + 30 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( v_c \) sang một vế: \[ 102 - 30 = 10v_c - 6v_c \] \[ 72 = 4v_c \] Giải \( v_c \): \[ v_c = \frac{72}{4} = 18 \text{ km/h} \] Bước 6: Tính vận tốc của ô tô \[ v_o = v_c + 17 = 18 + 17 = 35 \text{ km/h} \] Bước 7: Tính độ dài đoạn đường bộ từ A đến B \[ d_b = v_o \times 2 = 35 \times 2 = 70 \text{ km} \] Kết luận a) Vận tốc của canô là 18 km/h. b) Độ dài đoạn đường bộ từ A đến B là 70 km. Đáp số: a) 18 km/h, b) 70 km. Bài 5: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \( v \) (km/h). - Vận tốc của tàu thủy khi xuôi dòng là \( v + 4 \) (km/h). - Vận tốc của tàu thủy khi ngược dòng là \( v - 4 \) (km/h). Thời gian đi xuôi dòng là: \[ \frac{80}{v + 4} \text{ (giờ)} \] Thời gian đi ngược dòng là: \[ \frac{80}{v - 4} \text{ (giờ)} \] Theo đề bài, tổng thời gian đi và về là 8 giờ 20 phút, tức là 8,33 giờ: \[ \frac{80}{v + 4} + \frac{80}{v - 4} = 8,33 \] Chúng ta sẽ tìm \( v \) bằng cách thử các giá trị phù hợp. Đầu tiên, chúng ta thử \( v = 16 \): - Vận tốc xuôi dòng: \( 16 + 4 = 20 \) (km/h) - Vận tốc ngược dòng: \( 16 - 4 = 12 \) (km/h) Thời gian đi xuôi dòng: \[ \frac{80}{20} = 4 \text{ (giờ)} \] Thời gian đi ngược dòng: \[ \frac{80}{12} \approx 6,67 \text{ (giờ)} \] Tổng thời gian: \[ 4 + 6,67 = 10,67 \text{ (giờ)} \] Như vậy, \( v = 16 \) không đúng. Chúng ta thử \( v = 18 \): - Vận tốc xuôi dòng: \( 18 + 4 = 22 \) (km/h) - Vận tốc ngược dòng: \( 18 - 4 = 14 \) (km/h) Thời gian đi xuôi dòng: \[ \frac{80}{22} \approx 3,64 \text{ (giờ)} \] Thời gian đi ngược dòng: \[ \frac{80}{14} \approx 5,71 \text{ (giờ)} \] Tổng thời gian: \[ 3,64 + 5,71 = 9,35 \text{ (giờ)} \] Như vậy, \( v = 18 \) cũng không đúng. Chúng ta thử \( v = 20 \): - Vận tốc xuôi dòng: \( 20 + 4 = 24 \) (km/h) - Vận tốc ngược dòng: \( 20 - 4 = 16 \) (km/h) Thời gian đi xuôi dòng: \[ \frac{80}{24} \approx 3,33 \text{ (giờ)} \] Thời gian đi ngược dòng: \[ \frac{80}{16} = 5 \text{ (giờ)} \] Tổng thời gian: \[ 3,33 + 5 = 8,33 \text{ (giờ)} \] Như vậy, \( v = 20 \) đúng. Vậy vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là \( 20 \) km/h. Bài 6: Đổi 3 giờ 20 phút = 3$\frac{1}{3}$ giờ Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được: $\frac{3}{10}$ bể Trong 1 giờ vòi 1 chảy được: $\frac{3}{10}$ × 3 = $\frac{9}{10}$ bể Trong 1 giờ vòi 2 chảy được: $\frac{4}{5}$ - $\frac{9}{10}$ = $\frac{1}{10}$ bể Thời gian vòi 1 chảy riêng thì đầy bể: 1 : $\frac{3}{10}$ = 3$\frac{1}{3}$ giờ Thời gian vòi 2 chảy riêng thì đầy bể: 1 : $\frac{1}{10}$ = 10 giờ Đáp số: 3$\frac{1}{3}$ giờ; 10 giờ Bài 7: Gọi vận tốc của xe đi từ A là \( x \) km/h (điều kiện: \( x > 10 \)). Vận tốc của xe đi từ B là \( x - 10 \) km/h. Tổng vận tốc của hai xe là: \[ x + (x - 10) = 2x - 10 \text{ km/h} \] Hai xe gặp nhau sau 2 giờ, tức là tổng quãng đường hai xe đã đi được là 140 km. Do đó, ta có phương trình: \[ (2x - 10) \times 2 = 140 \] Giải phương trình này: \[ 4x - 20 = 140 \] \[ 4x = 160 \] \[ x = 40 \] Vậy vận tốc của xe đi từ A là 40 km/h, và vận tốc của xe đi từ B là: \[ 40 - 10 = 30 \text{ km/h} \] Đáp số: Xe đi từ A: 40 km/h, xe đi từ B: 30 km/h. Bài 8: Gọi số lúa ở kho thứ nhất là x (tạ, điều kiện: x > 750). Số lúa ở kho thứ hai là $\frac{x}{2}$ (tạ). Theo đề bài, nếu bớt ở kho thứ nhất đi 750 tạ và thêm vào kho thứ hai 350 tạ thì số lúa ở trong hai kho bằng nhau. Ta có phương trình: \[ x - 750 = \frac{x}{2} + 350 \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2(x - 750) = x + 700 \] Mở ngoặc và thực hiện phép nhân: \[ 2x - 1500 = x + 700 \] Chuyển x sang vế trái và 1500 sang vế phải: \[ 2x - x = 700 + 1500 \] \[ x = 2200 \] Vậy số lúa ở kho thứ nhất là 2200 tạ. Số lúa ở kho thứ hai là: \[ \frac{2200}{2} = 1100 \text{ tạ} \] Đáp số: Kho thứ nhất: 2200 tạ, Kho thứ hai: 1100 tạ. Bài 9: Gọi số sách ban đầu của thư viện thứ nhất là x (điều kiện: x > 2000). Số sách ban đầu của thư viện thứ hai là 40 000 - x. Sau khi chuyển 2000 cuốn từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai, số sách của hai thư viện bằng nhau. Vậy ta có phương trình: x - 2000 = 40 000 - x + 2000 x - 2000 = 42 000 - x x + x = 42 000 + 2000 2x = 44 000 x = 44 000 : 2 x = 22 000 Vậy số sách ban đầu của thư viện thứ nhất là 22 000 cuốn. Số sách ban đầu của thư viện thứ hai là 40 000 - 22 000 = 18 000 cuốn. Đáp số: Thư viện thứ nhất: 22 000 cuốn; Thư viện thứ hai: 18 000 cuốn. Bài 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm quãng đường dựa trên vận tốc và thời gian của hai xe gắn máy. Bước 1: Xác định thông tin đã biết - Vận tốc xe thứ nhất: 45 km/h - Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B: 2 giờ Bước 2: Tính quãng đường từ A đến B Quãng đường từ A đến B = Vận tốc xe thứ nhất × Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B \[ = 45 \text{ km/h} \times 2 \text{ giờ} = 90 \text{ km} \] Bước 3: Xác định vận tốc xe thứ hai - Vận tốc xe thứ hai: 60 km/h Bước 4: Tính thời gian xe thứ hai đi từ A đến B Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B = Quãng đường từ A đến B : Vận tốc xe thứ hai \[ = 90 \text{ km} : 60 \text{ km/h} = 1,5 \text{ giờ} = 1 giờ 30 phút \] Kết luận: - Quãng đường từ A đến B là 90 km. - Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là 1 giờ 30 phút. Đáp số: 90 km, 1 giờ 30 phút.