giúp với ạ Câu 3: Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^x+2x$ thỏa mãn $F(0)=\frac32.$ Tìm $F(2)$,(làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 4: Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb R\setminus\{\frac12\}$ thỏa mãn $f^\prime(x)=\frac2{2x-1},f(0)=1,f(1)=2.$ Biết,$f(-2)+f(3)=a+b\ln5$ với $a,b\in\mathbb Z.$ Tính $T=a+b.$

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để tìm $F(x)$, ta cần tính nguyên hàm của $f(x) = e^x + 2x$.

Nguyên hàm của $e^x$ là $e^x$, và nguyên hàm của $2x$ là $x^2$. Do đó, ta có:
$$ F(x) = e^x + x^2 + C $$
Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm.

Biết rằng $F(0) = \frac{3}{2}$, ta thay $x = 0$ vào biểu thức trên để tìm $C$:
$$ F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C $$
Theo đề bài, $F(0) = \frac{3}{2}$, nên ta có:
$$ 1 + C = \frac{3}{2} $$
Giải ra ta được:
$$ C = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} $$

Do đó, biểu thức của $F(x)$ là:
$$ F(x) = e^x + x^2 + \frac{1}{2} $$

Bây giờ, ta cần tìm $F(2)$:
$$ F(2) = e^2 + 2^2 + \frac{1}{2} $$
$$ F(2) = e^2 + 4 + \frac{1}{2} $$
$$ F(2) = e^2 + 4.5 $$

Lấy giá trị của $e^2$ (khoảng 7.389):
$$ F(2) \approx 7.389 + 4.5 $$
$$ F(2) \approx 11.889 $$

Làm tròn đến hàng phần chục, ta có:
$$ F(2) \approx 11.9 $$

Đáp số: $F(2) \approx 11.9$

Câu 4:
Ta có $f'(x)=\frac{2}{2x-1}=\frac{1}{x-\frac{1}{2}}$
$\Rightarrow f(x)=\ln |x-\frac{1}{2}|+C$
Mà $f(0)=1\Rightarrow C=1+\ln 2$
$\Rightarrow f(x)=\ln |x-\frac{1}{2}|+1+\ln 2$
$\Rightarrow f(-2)=\ln \frac{5}{2}+1+\ln 2=1+\ln 5$
$f(3)=\ln \frac{5}{2}+1+\ln 2=1+\ln 5$
$\Rightarrow f(-2)+f(3)=2+2\ln 5$
Suy ra $a=2,b=2$
Vậy $T=4$.