chĩ e vs ạ Câu 2. Một chiếc bát thuỷ tinh có bề dày của phần xung quanh là một khỏi tron xoay, xíu xoay hình phẳng D,quanh một đường thẳng $a$ bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên trục là decimét) vào hình,phẳng D tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng a sẽ trùng với trục Ox . Khi đó, hình phẳng D được giới hạn,bởi các đồ thị hàm số $y=x+\frac1x,y=x$ và hai đường thẳng $x=1,x=4.$ Thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh,đó bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?,

Question

chĩ e vs ạ Câu 2. Một chiếc bát thuỷ tinh có bề dày của phần xung quanh là một khỏi tron xoay, xíu xoay hình phẳng D,quanh một đường thẳng $a$ bất kì nào đó mà khi gắn hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên trục là decimét) vào hình,phẳng D tại một vị trí thích hợp, thì đường thẳng a sẽ trùng với trục Ox . Khi đó, hình phẳng D được giới hạn,bởi các đồ thị hàm số $y=x+\frac1x,y=x$ và hai đường thẳng $x=1,x=4.$ Thể tích của bề dày chiếc bát thuỷ tinh,đó bằng bao nhiêu decimét khối (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/d779122aa3104e31a9ecd2d1a7691d1c.jpg />

Accepted Answer

Câu 2.
Để tính thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh, ta cần tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng D tạo thành khi quay quanh trục Ox. Hình phẳng D được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $ y = x + \frac{1}{x} $, $ y = x $, và hai đường thẳng $ x = 1 $, $ x = 4 $.

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng D tạo thành khi quay quanh trục Ox được tính bằng công thức:
$$ V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)^2 - r(x)^2] \, dx $$
Trong đó, $ R(x) $ là bán kính ngoài và $ r(x) $ là bán kính trong của khối tròn xoay.

Ở đây, $ R(x) = x + \frac{1}{x} $ và $ r(x) = x $. Do đó, thể tích $ V $ là:
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left[ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - x^2 \right] \, dx $$

Ta thực hiện phép tính trong dấu tích phân:
$$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left( \frac{1}{x} \right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} $$

Do đó:
$$ \left( x + \frac{1}{x} \right)^2 - x^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} - x^2 = 2 + \frac{1}{x^2} $$

Vậy thể tích $ V $ là:
$$ V = \pi \int_{1}^{4} \left( 2 + \frac{1}{x^2} \right) \, dx $$

Ta thực hiện tích phân từng phần:
$$ \int_{1}^{4} 2 \, dx = 2x \Big|_{1}^{4} = 2(4) - 2(1) = 8 - 2 = 6 $$

$$ \int_{1}^{4} \frac{1}{x^2} \, dx = \int_{1}^{4} x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} \Big|_{1}^{4} = -\frac{1}{4} - (-1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4} $$

Do đó:
$$ V = \pi \left( 6 + \frac{3}{4} \right) = \pi \left( \frac{24}{4} + \frac{3}{4} \right) = \pi \left( \frac{27}{4} \right) = \frac{27\pi}{4} $$

Lấy giá trị của $ \pi \approx 3.14159 $:
$$ V \approx \frac{27 \times 3.14159}{4} \approx \frac{84.82393}{4} \approx 21.2 $$

Vậy thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh là khoảng 21.2 decimet khối (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp số: 21.2 decimet khối.