Cho A=1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^2024-1. Chứng minh 1012

Question

Cho A=1+1/2+1/3+1/4+...+1/2^2024-1. Chứng minh 1012<A<2024

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $1012 < A < 2024$ với $A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{2^{2024} - 1}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các phân số lại với nhau để dễ dàng so sánh.

Bước 1: Nhóm các phân số

Chúng ta sẽ nhóm các phân số theo cách sau:
- Nhóm 1: $1$
- Nhóm 2: $\frac{1}{2}$
- Nhóm 3: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$
- Nhóm 4: $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}$
- ...
- Nhóm $n$: Các phân số từ $\frac{1}{2^{n-1} + 1}$ đến $\frac{1}{2^n}$

Bước 2: Xác định số lượng nhóm

Có tổng cộng $2024$ nhóm, vì $2^{2024} - 1$ là số cuối cùng trong dãy và có $2024$ nhóm.

Bước 3: So sánh các nhóm

Mỗi nhóm có tổng số phân số là $2^{n-1}$ và mỗi phân số trong nhóm đều nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{1}{2^{n-1}}$.

Do đó, tổng của mỗi nhóm sẽ nhỏ hơn hoặc bằng:
$$ \text{Tổng của nhóm } n = 2^{n-1} \times \frac{1}{2^{n-1}} = 1 $$

Tuy nhiên, tổng của mỗi nhóm cũng lớn hơn hoặc bằng:
$$ \text{Tổng của nhóm } n = 2^{n-1} \times \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2} $$

Bước 4: Tính tổng của tất cả các nhóm

Vì có $2024$ nhóm, tổng của tất cả các nhóm sẽ nằm trong khoảng:
$$ 2024 \times \frac{1}{2} < A < 2024 \times 1 $$
$$ 1012 < A < 2024 $$

Kết luận

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $1012 < A < 2024$.